Практические занятия № 14 – 15
Тема 1: «Алгебра событий»
Задача 1. Произведено два выстрела по мишени. Описать пространство элементарных событий. Описать через элементарные события следующие события: А – допущен хотя бы один промах и В – было два попадания. Являются ли события А и В совместными? Противоположными?
Решение.
Пространство элементарных событий: {
-
попадание при первом выстреле;
-
попадание при втором выстреле}. Тогда
событие А=
;
событие В
=
.
События А
и В
несовместны и не являются противоположными.
Задание.
Игральную
кость бросают один раз. а) Описать
пространство элементарных событий; б)
Указать, из каких элементарных событий
состоят события: А
– (выпало
нечетное число очков), В – (выпало число
очков, кратное трем), С – (Выпало не более
четырех очков), D – ( выпало не менее трех
и не более пяти очков); в) Описать события:
А+С, В∙D,
,
Тема 2: «Непосредственный подсчет вероятностей»
Задача 2.
Прибор состоит из трех блоков. События
- работает первый, второй и третий блок
соответственно. Событие А
– прибор
работает. Описать событие А
через события
,
если для того, чтобы прибор работал
надо: а) чтобы работали все блоки; б)
чтобы работали хотя бы два блока; в)
чтобы работал хотя бы один блок.
Задание. Стрелок
стреляет по мишени два раза. Какие из
перечисленных ниже событий являются
совместными:
-хотя
бы одно попадание;
-
хотя бы один промах;
-
ровно два попадания;
-
ни одного попадания.
Задача 3. Из 60 вопросов к экзамену студент выучил 50. В билете 3 вопроса. Какова вероятность события А: студент выучил все вопросы билета? События В: студент выучил хотя бы один вопрос билета?
Решение.
Воспользуемся формулой:
.
Тогда
- число вариантов выбора трех вопросов
из 60.
- число благоприятных вариантов выбора
трех вопросов из 50 выученных. Получается
.
Чтобы найти
вероятность события В
воспользуемся формулой
,
где событие
- студент не выучил ни одного вопроса
билета, т.е. событие, противоположное
событию В.
;
.
Тогда
. Ответ.
0,572; 0,997.
Задание.
1. Бросают две
игральные кости, Найти вероятность
того, что сумма выпавших очков будет не
более 3.
Ответ.
.
2. Бросают 4
игральные кости. Найти вероятность
того, что на них выпадет по одинаковому
числу очков.
Ответ.
.
3. В партии из 20
деталей 16 стандартных. Наудачу выбираются
три детали. Найти вероятности событий
А- все три детали стандартны; В – все
детали нестандартны. С – две детали
стандартны; D – одна деталь стандартна.
Ответ
.
4. Кубик с
окрашенными гранями разрезан на 1000
одинаковых маленьких кубиков, которые
затем перемешиваются. Наудачу вынимается
один кубик. Найти вероятности событий
А – у кубика окрашена одна грань; В – у
кубика окрашены две грани; С – у кубика
окрашены три грани; D – кубик не окрашен.
Ответ.
.
5. В ящике находятся
6 красных, 5 синих и 4 желтых шара. Наудачу
вынимаются два шара. Найти вероятности
событий: А – вынуты два шара одного
цвета; В – вынуты два шара разного цвета;
С – среди вынутых шаров нет синих.
Ответ.
.
6. На складе
находятся 10 телевизоров, из них 4 фирмы
«Витязь». Найти вероятность того, что
из 5 наудачу отобранных телевизоров
ровно 2 будут фирмы «Витязь».
Ответ.
.
7. Найти вероятность
того, что дни рождения 12 случайно
выбранных людей придутся на разные
месяцы года.
Ответ.
.
8. Для уменьшения
общего числа игр 16 хоккейных команд
разбиты на две подгруппы по 8 команд в
каждой. Найти вероятность того, что две
наиболее сильные команды а) окажутся в
разных подгруппах; б) окажутся в одной
подгруппе.
Ответ.
а)
б)
.
9. В урне 10 шаров занумерованных числами 1, 2,…,10. Из урны наудачу вынимается шар и записывается его номер. Затем шар откладывается в сторону и из урны вынимается второй шар. Найти вероятность того, что номер второго шара больше, чем номер первого шара. Ответ. 0,5
10. Монета бросается
три раза. Найти вероятность того, что
герб выпадет хотя бы один раз.
Ответ.
.
11. В коробке 5 одинаковых изделий, причем 3 из них окрашено. Найти вероятность того, что из 2 наугад отобранных изделий а) ровно одно окрашено; б) хотя бы одно окрашено. Ответ. а) 0,6 б) 0.9.
12. Из 12 лотерейных билетов 4 выигрышных. Наудачу берут 6 билетов. Какова вероятность того, что среди них будет хоть один выигрышный? Ответ. 0,96.