Тема 2: «Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах»
Задача 1. Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить интеграл
,
где V
– часть цилиндра
,
ограниченная плоскостями
.
Решение.
Для данного тела
.
Тогда
=
=
. Ответ.
.
Задание. Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить интегралы
1.
,
где тело V
ограничено поверхностями
,
. Ответ.
10
.
2.
,
где тело V
ограничено поверхностями
,
. Ответ.
.
3.
,
где тело V
ограничено поверхностями
,
. Ответ.
16
.
4.
,
где тело V
ограничено поверхностями
,
. Ответ.
.
5.
,
где тело V
ограничено поверхностями
,
. Ответ.
.
Тема 3: «Вычисление тройного интеграла в сферических координатах»
Задача 1. Перейдя к сферическим координатам, вычислить интеграл
,
если тело V
– часть шара
,
удовлетворяющая условиям
.
Решение.
Пределы
изменения переменных для тела V
определяются неравенствами
Тогда, переходя к
сферическим координатам
и
=
. Ответ.
.
Задание. Перейдя к сферическим координатам, вычислить интегралы
1.
,
где тело V
ограничено сферическими поверхностями
и удовлетворяет условию
.
Ответ.
.
2.
,
где V
– часть шара, ограниченная сферической
поверхностью
и плоскостями
. Ответ.
.
3.
,
где тело V
ограничено конической поверхностью
,
плоскостью
и удовлетворяет условию
.
Ответ.
.
Практические занятия № 5 - 6.
Тема: «Достаточные признаки сходимости положительных числовых рядов»
Задача 1.
Исследовать по признаку Даламбера
сходимость ряда
.
Решение.
;
находим
.
Так как
,
то данный ряд по признаку Даламбера
сходится.
Задание. Исследовать по признаку Даламбера сходимость ряда.
1.
.
Ответ. Расходится. 2.
.
Ответ. Расходится.
3.
.
Ответ. Сходится. 4.
.
Ответ. Расходится.
5.
.
Ответ. Сходится. 6.
.
Ответ. Расходится.
Задача 2.
Исследовать по признаку Коши сходимость
ряда
.
Решение.
находим
.
Т. к.
,
то данный ряд по признаку Коши сходится.
Задание. Исследовать по признаку Коши сходимость ряда
1.
.
Ответ.
Сходится. 2.
.
Ответ.
Расходится.
3.
.
Ответ.
Сходится. 4.
.
Ответ.
Сходится.
5.
.
Ответ.
Расходится.
6. При каких значениях
с
сходится ряд
?
Ответ.
При
.
Задача 3. Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда
.
Решение.
Рассмотрим функцию
.
Найдем несобственный интеграл
.
Этот несобственный интеграл расходится. Следовательно, согласно интегральному признаку и данный ряд также расходится.
Задание. Исследовать по интегральному признаку сходимость ряда.
1.
.
Ответ.
Сходится. 2.
.
Ответ.
Расходится.
3.
.
Ответ.
Сходится. 4.
.
Ответ.
Сходится.
5.
.
Ответ. Сходится.
Задача 4.
Исследовать по признаку сравнения
сходимость ряда
.
Решение.
Сравним данный ряд с гармоническим
рядом
.
Каждый член
данного ряда, начиная со второго, больше
соответствующего члена
гармонического ряда:
,
и т.к. гармонический ряд расходится, то
согласно признаку сравнения, данный
ряд также расходится.
Задание. Исследовать по признаку сравнения сходимость ряда
1.
.
Ответ.
Сходится. 2.
.
Ответ. Сходится.
3.
.
Ответ.
Сходится. 4.
.
Ответ. Расходится.
5.
.
Ответ. Расходится.