Основные расчетные соотношения

При использовании уже существующих элементов, задача обеспечения заданных уровней надежности системы может быть решена использованием структурного резервирования.

При решении поставленной задачи примем, что вероятность безотказной работы нерезервированного i-ого элемента за период T_r оценивается по произвольному закону распределения F(x)

h_0i = 1 – F(T_r)

Соответственно вероятность отказа i-ого нерезервированного элемента будет равна

q_0i = 1 – h_0i.

При «горячем» резервировании вероятность отказа i-го элемента , может быть оценена по соотношению

, где общее число элементов в резервной группе ( кратность резерва ).

Затраты на производство и эксплуатацию i-ого элемента системы будут равны

,

где С_Эi – стоимость i-ой системы.

Полученные результаты позволяют перейти к решению задачи нормирования надежности элементов, то-есть оптимального распределения уровней надежности между отдельными элементами системы, обеспечивающих удовлетворение заданных требований к надежности системы в целом при минимальном расходе средств на реализацию целевой программы. Очевидно, затраты на производство и эксплуатацию системы, состоящей из n элементов, будут равны

. Соответственно надежность системы, состоящей из n последовательно соединенных элементов, будет равна .

Для высоконадежных систем вероятность отказа можно оценить по приближенному соотношению

, где q_i = 1 – h_i.

Очевидно заданные требования к надежности системы могут быть обеспечены при различных комбинациях значений слагаемых q_i. Среди множества значений q_i целесообразно выбрать такие, которые обеспечивают минимум затрат на реализацию целевой программы. Поставленную задачу будем решать методом Лагранжа.

В рассматриваемом случае функция Лагранжа примет вид

,

где l – множитель Лагранжа.

При этом оптимальные уровни должны удовлетворять условию .

Раскрывая выражение производной, получим

Отсюда , где

Подставляя полученное соотношение в дисциплинирующее условие, получим

Отсюда

Таким образом, окончательно получим

При этом кратность резерва рассчитывается по соотношению

,

В заключение решим задачу нормирования при известной аппроксимационной зависимости

,

где коэффициенты аппроксимации; -- масса i-ой системы.

В этом случае целевая функция будет равна .

Соответственно для дисциплинирующего условия имеем .

Функция Лагранжа примет вид

Условие оптимальности можно представить в виде

Разрешая систему алгебраических уравнений, для оптимальных уровней вероятности

отказа ,получим

; ; ;

Расчет оптимального распределения масс оценивается по соотношениям

; .