Табличный способ представления логических функций.
При этом способе функция представлена в виде таблицы, в которой записываются все возможные наборы аргументов в порядке возрастания их номеров и для каждого набора устанавливается (задается) значение функции.
Так, для случая трех аргументов X1, X2, X3 таблица может иметь следующий вид:
Таблица 1.
Номер набора |
Значения аргументов |
Значение функции |
|||
Х1 |
Х2 |
Х3 |
F0(X1,X2,X3) |
F1(X1,X2,X3) |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
3 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
4 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
5 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
6 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
7 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Примечание: Напомним, что для функции содержащей три аргумента, можно составить 23=8 наборов из значений аргументов и на этих наборах можно определить 28=256 функций.
Таблицы, в которых заданы наборы аргументов и определены значения функций на этих наборах, получили название таблиц истинности функций.
Алгебраический (аналитический) способ представления логических функций.
От таблицы можно перейти к алгебраической форме представления функции. В алгебраической форме удобно производить различные преобразования функций.
Существуют (широко распространены) несколько форм записи функций заданных в виде алгебраических выражений, т.е. заданных алгебраическим способом.
Одна из них получила название дизъюнктивно нормальной формы (ДНФ). Эта форма представляет собой логическую сумму (дизъюнкцию) логических произведений (конъюнкций), в каждое из которых аргумент или его отрицание входит не более одного раза.
Говорят также, что если каждое логическое произведение содержит в своем составе все аргументы или их отрицания, то логическая функция имеет первую стандартную форму или совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ).
Переход от таблицы истинности к СДНФ логической функции осуществляется следующим образом:
Для каждого набора (терма), на котором функция равна 1 записывается элементарное произведение (конъюнкции) всех аргументов. Причем, если значение аргумента в этом терме имеет значение 0, то пишется отрицание этого аргумента. Затем, эти элементарные произведения объединяются знаками логического сложения (дизъюнкциями). Другими словами, производится логическое сложение элементарных произведений (конъюнкций).
Пример 1.
Построим СДНФ функции F0(X1, X2, X3) из табл. 1. Эта функция отлична от 0 для наборов 3, 5, 6 и 7. Таким образом, СДНФ примет вид:
.
Следует заметить, что значение для каждого входящего в состав СДНФ терма равно 1. Это значит, что значение функции, записанной в СДНФ, также будет равно 1.
Другая форма записи логической функции алгебраическим способом получила название конъюнктивно нормальной формы (КНФ).
Конъюнктивно нормальная форма записи функции это такая форма в которой логические произведения (конъюнкции) выполняются над элементарными логическими суммами (дизъюнкциями), в каждую из которых аргументы или их отрицания входят не более одного раза.
Говорят также, что логическая функция имеет вторую стандартную форму или совершенную конъюнктивную нормальную форму, если в состав логических сумм входят все аргументы или их отрицания, т.е. если каждая логическая сумма содержит в своем составе полный перечень аргументов или их отрицаний.
Для перехода от таблицы истинности к СКНФ логической функции требуется выполнение следующей последовательности действий.
Для каждого набора (терма), на котором значение функции равно 0, составляется элементарная сумма из логических аргументов. Причем, если значение логического аргумента в этом терме равно 1, то в состав суммы включается его отрицание. Затем эти элементарные суммы (дизъюнкции) объединяются знаками (операциями) логического умножения (конъюнкциями).
Пример 2.
Построим СКНФ функции F0(X1, X2, X3) из табл. 1. Эта функция равна 0 для наборов 0, 1, 2 и 4. Таким образом, СКНФ примет вид:
Следует заметить, что значение функции для каждого входящего в состав СКНФ терма равно 0. Это означает, что значение функции записанной в СКНФ также будет равно 0.