1. 4. Ди в полярных координатах

Примеры решения

4.1. В повторных интегралах перейти к полярным координатам:

1.

2.

► 1. Пределы интегрирования позволяют построить область (рис. 10).

Уравнения границ и в полярных координатах записываются следующим образом:

и .

Угол меняется от до , а меняется от до 2, т.е. Тогда получаем:

2. Из условия следует, что − окружность с центром С (2, 0) и (рис. 11).

Уравнение окружности и прямой в полярных координатах принимает вид: .

Решая совместно уравнения , находим:

Угол изменяется от до . Любой луч, выходящий из полюса под углом , переcекает границу области в точках: и . Тогда область D

Таким образом,

◄

4.2. Переходя к полярным координатам, вычислить ДИ:

1.

2.

► 1. В данном случае переход к полярным координатам особенно удобен, так как область D − верхняя половина единичного круга (рис. 12). Для полярный радиус Поэтому, используя формулы (вычисление ДИ в полярных координатах), получим:

2. В данном интеграле переход к полярным координатам удобен из-за вида области интегрирования (рис. 13).

Заметим, что уравнение луча в полярных координатах запишется , а . Таким образом, используя формулу (вычисление ДИ в полярных координатах), получим:

◄

4.3. Вычислить ДИ где область D ограничена линиями и лежит вне первой окружности.

► Сначала определим пределы изменения полярного угла в области D, для чего решаем совместно систему из уравнений линий, ограничивающих область:

Таким образом, (рис. 14). Полярный радиус r изменяется в области D от R до

Следовательно,

◄

Аудиторные задачи

I. В повторных интегралах перейти к полярным координатам:

4.4.

4.5.

4.6.

II. Переходя к полярным координатам, вычислить ДИ :

4.7. D − первая четверть круга, радиуса c центром в т. О (0, 0).

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

5.2.12.

Задание на дом

4.13. В ДИ перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования:

1. 

2. 

4.14. Вычислить ДИ:

1.

2.

(переход к обобщённой полярной системе координат).

Ответы

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10. 3.

4.11.

4.12.

4.13. 1.

2.

4.14. 1.

2.

5. Приложения ди

Примеры решения

5.1. Найти площадь, ограниченную параболами и .

► Решая систему уравнений , найдем точки пересечения парабол , и сделаем чертеж (рис. 14).

Область D на рис. 14 является правильной относительно оси OX, поэтому площадь можно представить в виде повторного интеграла:

.

Здесь мы воспользовались симметрией области относительно оси OX. ◄

5.2. Найти площадь, ограниченную кривыми и .

► В плоскости XOY фигура показана на рис. 15.

Вычислим по формуле (геометрические приложения ДИ) площадь верхней части и удвоим:

. ◄

5.3. Площади каких областей выражаются интегралами:

1. ,

2. ?

► 1. Область ограничена системой неравенств: , . Искомая область располагается в полосе (это сразу отмечается на рисунке). Уравнения и запишем соответственно в виде: , . Далее строим область (рис. 16).

2. Область ограничена системой неравенств: , .

Луч, проведенный из полюса через любую внутреннюю точку области, сразу входит в область, т.к. , а точка его выхода находится на линии (или ). Далее строится область (рис. 17). ◄

5.3.4. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: , , , .

► Первая поверхность – параболический цилиндр с образующими, параллельными оси OZ (почему)? Сделаем чертеж (рис. 18).

Согласно формуле (геометрические приложения ДИ) получим

. ◄

5.5. Найти объем тела, ограниченного плоскостью и параболоидом

► Сверху данное тело (рис. 19) ограничено параболоидом , поэтому .

Область D - круг, его границу получим подстановкой в уравнение . В полярных координатах уравнение этой окружности имеет вид или . Учитывая симметрию тела относительно плоскостей XOZ и YOZ, найдем

.

Откуда . ◄

5.6. Найти массу квадратной пластинки , поверхностная плотность которой равна .

►

. ◄

5.7. Вычислить площадь части поверхности параболоида , вырезанной цилиндром .

► Сделаем чертеж (рис. 20). Согласно формуле (геометрические приложения ДИ) получим , где , тогда

.

Перейдем к полярным координатам (почему?).

Используя формулу, получим

. ◄

5.8. Тонкая пластина имеет форму кругового кольца с радиусами и . Удельная теплоемкость пластинки меняется по закону , плотность постоянна и равна . Найти количество теплоты , полученное пластинкой при ее нагревании от температуры до .

► Количество теплоты определится по формуле

. ◄

5.9. Найти координаты центра масс однородной пластинки, ограниченной кривыми .

► Кривые пересекаются в точках и (рис. 21).

Поэтому можно записать:

,

,

.

Подставляя найденные значения в формулы (физические приложения ДИ), имеем:

, . ◄

5.10. Найти моменты инерции однородного треугольника, заданного уравнениями .

► Построим область интегрирования (рис. 22).

Используя формулы (физические приложения ДИ), можно записать

,

. ◄

Аудиторные задачи

I. Найти площадь, ограниченную линиями:

5.11. .

5.12. .

5.13. .

5.14. .

5.15. .

5.16. (вне кардиоиды).

II. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

5.17.

5.18.

5.19.

5.20.

5.21.

5.22. .

III. Найти площадь поверхности , вырезаемую поверхностями :

5.23.

5.24.

5.25.

5.26.

5.27.

5.28.

IV. 5.29. Найти массу круглой пластинки радиуса , если плотность ее пропорциональна квадрату расстояния точки от центра и равна на краю пластинки.

5.30. Найти массу пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника с катетами и , если плотность ее в любой точке равна расстоянию точки от катета .

5.31. Найти массу квадратной пластинки со стороной , если плотность материала пластинки пропорциональна квадрату расстояния от точки пересечения диагоналей и на углах квадрата равна единице.

V. 5.32. На тонкой пластинке, имеющей форму параболического сегмента, ограниченного осью и параболой , распределен электрический заряд с поверхностной плотностью . Найти полный заряд .

VI. Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной кривыми:

5.33. .

5.34. .

5.35. .

VII. Найти моменты инерции относительно осей и однородной фигуры , ограниченной кривыми:

5.36. .

5.37. .

5.38. .

Задание на дом

5.39. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. .

2. (справа от прямой).

5.40. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

1.

2.

5.41. Найти площадь части поверхности между и .

5.42. Найти массу пластинки

с плотностью .

5.43. Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной кривыми .

Ответы

5.11. .

5.12. 5.

5.13. .

5.14. .

5.15. .

5.16. .

5.17. .

5.18. 1.

5.19. .

5.20. 28.

5.21. .

5.22. 45.

5.23. .

5.24. .

5.25. .

5.26. .

5.27. .

5.28. .

5.29. .

5.30. .

5.31. .

5.32. .

5.33. .

5.34.

5.35. .

5.36.

5.37.

5.38.

5.39. 1. . 2. .

5.40. 1. . 2. .

5.41. .

5.42.

5.43. .

Вопросы для самопроверки

1. Каков геометрический смысл теоремы о среднем для ДИ по плоской области от непрерывной неотрицательной функции?

2. Как записывается неравенствами множество точек области, правильной в направлении а) , б) ?

3. Какова должна быть область интегрирования, чтобы пределы по x и y были постоянными?

4. Какая область является правильной в полярной системе координат?

5. В каких случаях вычисление ДИ целесообразно производить в полярных координатах?