§ 3. Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат
Осуществим в
двойном интеграле
,
заданном в декартовой системе координат,
замену переменных по известным формулам:
.
В этом случае подынтегральная функция
будет зависеть от полярных координат
и
:
.
Двойной интеграл в полярных координатах
.
Область такова, что любой луч, выходящий из начала координат и проходящий через внутреннюю точку области, пересекает границу не более чем в двух точках, т.е. является правильной применительно к полярным координатам.
Вычисление двойного
интеграла сводится к вычислению
двукратного интеграла по переменным
и
.
Для расстановки пределов интегрирования
из полюса проводят ограничивающие лучи
и
.
Записывают уравнения линий (AMB)
,
и (AKB)
,
тогда
,
.
Как правило, внешний интеграл вычисляется по переменной , а внутренний по
.
Если область такова, что полюс находится в ее внутренней точке и любой луч, выходящий из полюса, пересекает границу только в одной точке, то формула для вычисления двойного интеграла в полярных координатах
.
3. Вычисление ди в декартовых координатах
Примеры решения
3.1. Расставить
пределы интегрирования в двойных
интегралах
от функции
,
непрерывной в указанных областях D:
► 1. Построим
область D
(рис. 4). Первая линия − парабола,
симметричная относительно оси ОY,
вторая − прямая. Найдем точки пересечения
этих линий. Решаем уравнения
и
,
находим:
Область интегрирования является
правильной в направлении
обеих осей.
Воспользуемся сначала формулой (вычисление ДИ в декартовых координатах)
Здесь в повторном
интеграле внутреннее интегрирование
производится по переменной
,
а внешнее − по
.
Пределы интегрирования получены
следующим образом. Область D
была спроектирована на ось ОX
(область заключили в полосу, параллельную
ОY
), тогда
Через произвольную точку
провели прямую, параллельную оси ОY
в положительном направлении, отметили
точки входа (К)
этой прямой в область и выхода (М).
Функция
,
которой удовлетворяют точки входа −
нижний предел для
,
функция
,
которой удовлетворяют точки выхода −
верхний предел. Таким образом,
При внешнем
интегрировании по
область D
заключаем в полосу, параллельную оси
ОХ,
тогда
.
Применив формулу (вычисление ДИ в декартовых координатах), получим:
2. Построим область D (рис. 5). Область D ограничена двумя прямыми и двумя ветвями гиперболы. Как видно из рисунка, область D является правильной в направлении оси ОХ.
По отношению к оси ОY область D не является правильной (почему?). Тогда используя формулу (вычисление ДИ в декартовых координатах), получим:
◄
3.2. Записать в виде одного повторного интеграла следующие выражения
1.
2.
.
► 1. Область
.
Построим области D1
и D2,
если D1=
|
(рис. 6).
Видно, что область
D
− правильная в направлении оси ОХ.
Левая часть границы области
− одна линия, а именно
,
а его правая часть состоит из двух линий
ОВ
и ВС,
определяемых разными уравнениями:
и
Поэтому область
D
представлена
суммой (D1
D2)
двух областей D1
и D2.
Однако область
D
является правильной в направлении оси
ОY.
Если её заключить в полосу, параллельную
оси ОY,
то
а двойной интеграл запишется в виде
одного повторного:
2. Построим области
и
(рис. 7).
Область
является
правильной в направлении оси ОY.
Нижняя ее граница − одна линия
,
а верхняя состоит из двух линий ОВ
и ВС,
определяемых разными уравнениями:
и
.
Область
является правильной и в направлении
оси ОX.
Если её заключить в полосу, параллельную
оси ОХ,
то
.
В этом случае двойной интеграл
представляется в виде одного повторного:
◄
3.3. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
► Построим область,
ограниченную прямыми:
- cнизу,
- сверху и линиями:
-
слева,
- справа (рис. 8).
Как нетрудно
заметить, линия
есть левая половина окружности
Область D
является
правильной относительно каждой из осей
ОХ и
ОY,
но на разных отрезках оси ОХ
она сверху ограничена разными линиями:
на отрезке [−1, 0] −
это верхняя половина окружности
а на отрезке [0,1] − это прямая
.
Снизу область D
ограничена осью абсцисс
.
Следовательно, можно записать
◄
3.4. Вычислить
двойной интеграл
► В данном случае область интегрирования D (рис. 9) является правильной как относительно оси ОY, так и оси ОХ, поэтому нетрудно перейти к повторному интегралу двумя способами:
1.
2.
Однако, второй способ предпочтительней, поскольку в первом случае для внутреннего интеграла первообразная не выражается через элементарные функции. Это замечание может быть полезно и в ряде других примеров, поскольку изменение порядка интегрирования часто упрощает вычисления. В данном случае будем иметь:
◄
3.5. Найти среднее
значение функции
в треугольнике О
(0, 0),
А (1, 0), В
(0, 1).
► Используя
теорему о среднем (
),
имеем
Площадь ∆ОАВ
и
.
◄
Аудиторные задачи
I.
Расставить пределы интегрирования в
двойных интегралах
от функции
непрерывной в указанных областях D:
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
II. Изменив порядок интегрирования, записать в виде одного повторного интеграла следующие выражения:
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
III. Вычислить интегралы:
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
IV. Найти среднее значение функции:
3.20.
3.21.
3.22.
Задание на дом
3.23. Расставить
пределы интегрирования в ДИ
для указанных областей
D:
1) D
- треугольник
с вершинами О
(0, 0), А
(1, −1), В (1,
1); 2) D:
3.24. Изменить порядок интегрирования:
1.
2.
3.25. Вычислить интегралы:
1.
2.
IV.
Найти среднее значение функции
в области
Ответы
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15. 9.
3.16.
.
3.17.
.
3.18.
.
3.19.
.
3.20. 4.
3.21. 3.
3.22.
.
3.23. 1.
2.
3.24. 1.
2.
3.25. 1.
.
2.
3.26.
.