Интегральное исчисление функции многих переменных
Занятия 1 и 2. Двойной интеграл
§ 1. Определение и свойства двойного интеграла
Определение 1:
Пусть в замкнутой области
плоскости
определена функция
.
Разобьем область
сетью кривых на конечное число областей
,
площади которых обозначим
.
В
i-й
частичной области
,
возьмем произвольную точку
и значение функции в данной точке
умножим на площадь
этой области.
Составим аналогичные произведения по всем частичным областям и, просуммировав полученные произведения, будем иметь
(1).
Сумма (1) называется интегральной суммой для функции в области .
Обозначим
через
наибольший из диаметров частичных
областей
.
Если
при стремлении к нулю
интегральная сумма (1) имеет определенный
конечный предел I,
не зависящий ни от способа деления
области
на частичные области
,
ни от выбора точек
в каждой из них, то этот предел
называется двойным интегралом от функции
в области
и обозначается
.
Отметим достаточные условия существования двойного интеграла.
Теорема 1(достаточные условия существования двойного интеграла): Если в замкнутой ограниченной области однозначная функция непрерывна, то двойной интеграл от этой функции по области существует.
Свойства
.
Двойной интеграл не зависит от обозначения
переменных интегрирования.
.
Постоянный множитель можно выносить
за знак двойного интеграла
.
Двойной интеграл от суммы двух (и более)
функций равен сумме двойных интегралов
от слагаемых
.
Если область
интегрирования разбита на две области
и
то
.
.
Если всюду в области
,
то
.
Если в области
,
то
.
.
Если функция
задана в области
,
то
.
.
.
(Теорема о среднем): Если функция
непрерывна в замкнутой области
,
то в этой области существует точка
,
такая что
.
.
Если функция
интегрируема в области
,
то имеет место оценка
,
где
площадь области
;
- наименьшее, а
- наибольшее значения функции
в области
.
§ 2. Вычисление двойных интегралов в прямоугольной системе координат
Пусть требуется найти значение двойного интеграла.
Определение:
Плоская область
называется правильной в направлении
оси
(рис. 1), если любая прямая, параллельная
оси
,
пересекает границу области не более
чем в двух точках. Точка входа в область
(как и точка выхода) лежит на линии,
уравнение которой задано одним
аналитическим выражением.
Покажем, что, если область – правильная, то вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла, то есть к последовательному интегрированию функции по каждой из переменных.
Найдем объем,
воспользовавшись формулой вычисления
объема по известным площадям
поперечных сечений
.
Будем считать, что
- правильная
в направлении оси OY.
Спроектируем
ее на ось ОХ,
полагая
(рис.2).
Точки А
и В
разделяют
на линии АКВ,
ее уравнение
и АNB,
ее уравнение
.
Проведем
перпендикулярную оси ОХ
плоскость,
которая пересечет данное тело по
некоторой криволинейной трапеции
.
Площадь сечения
зависит от
и может быть вычислена с помощью
определенного интеграла
.
Тогда
.
С
другой стороны,
,
получаем формулу
(1).
Интеграл, стоящий
в правой части (1) – повторный; a
и b
– внешние пределы интегрирования (они
всегда постоянны),
и
– внутренние пределы интегрирования
(они могут быть как постоянными, так и
переменными). Вначале вычисляется
внутренний интеграл, при этом вторая
переменная (для записанной формулы -
),
соответствующая внешнему интегралу,
считается постоянной, а затем внешний
интеграл.
Для
расстановки пределов интегрирования
в двойном интеграле достаточно изобразить
в
область интегрирования
.
Порядок
интегрирования можно изменить: внутренний
интеграл вычислить по переменной
,
а внешний – по
.
Допустим, что область
- правильная в направлении оси ОХ
(рис. 3).
Спроектируем
область
на ось OY,
,
уравнение линии NAK
;
NBK
-
.
Тогда
.