1.2 Ортогональна система двох площин проекцій

Поступово накопичені окремі правила і методи побудови зображень вперше були узагальнені і зведені в струнку систему французьким вченим-геометром Гаспаром Монжем (1746-1818), який у своїй фундаментальній праці “Geometrie descriptive” (“Нарисна геометрія”), яка опублікована в 1799р., розробив загальну теорію побудови ортогональних проекцій тримірного типу на плоскому аркуші.

З цього часу нарисна геометрія одержала наукове підтвердження, її методи, висновки та рекомендації знайшли широке застосування в техніці і привели до того, що креслення стало міжнародною мовою техніки, а досягнення нарисної геометрії зробили її одним із могутніх засобів розв’язування задач у різних областях науки і техніки.

Метод ортогональних проекцій полягає в тому, що будь-який геометричний елемент проеціюється на дві взаємно перпендикулярні площини променями, які перпендикулярні до цих площин.

Одну з площин проекцій розміщують горизонтально і називають горизонтальною площиною проекцій ₁, а другу ─ вертикально і називають – фронтальною площиною проекцій ₂. Площини проекцій передбачаються безкінечними і непрозорими.

Л інію перетину названих площин проекцій називаєть віссю проекцій ОХ. На рисунку 1.4 показано вигляд моделі площин проекцій.

В

Рисунок 1.4 – Ортогональна система

Двох площин проекцій

ісь проекцій ділить кожну площину на дві частини, дві півплощини, які називають полами. Площина ₁ має передню полу і задню полу, площина ₂ – верхню і нижню. Площини проекцій ділять весь простір на чотири двогранні кути, які називають квадранти або чверті, що розміщені в такій послідовності, як показано на рисунку1.4, і позначені римськими цифрами І, ІІ, ІІІ, ІV.

1.3 Ортогональна система трьох площин проекцій

Проеціювання на три площини проекцій зумовлене необхідністю мати додаткове зображення об’єкта, що проеціюється, і часто використовується у виробничих кресленнях.

За третю площину проекцій приймається площина, що перпендикулярна до перших двох площин і називається профільною площиною проекцій - ₃.

Вигляд просторової моделі трьох площин проекцій показано на рисунку 1.5. При перетині трьох площин проекцій між собою одержуємо три лінії перетину – осі X, Y, Z; вісь X – при перетині горизонтальної площини з фронтальною, вісь Y – при перетині горизонтальної площини з профільною, вісь Z – при перетині фронтальної площини з профільною.

В сі три осі проекцій взаємоперпендикулярні і перетинаються у точці 0. Їх можна розглядати як Декартову систему прямокутних координатних осей з початком у точці 0.

Таким чином, площини проекцій в даному випадку одночасно є і площинами координат. Іншими словами, система площин проекцій і система координат збігаються.

К

Рисунок 1.5 – Ортогональна система

Трьох площин проекцій

оординатами точки називають відстань від точки до площин координат. Вважаючи площини проекцій за координатні, можна визначити положення точки в просторі відносно площин проекцій.

Координату Х називають абсцисою (вона визначає відстань від даної точки до площини p₃), координату Y називають ординатою (вона визначає відстань від точки до площини p₂), координату Z називають аплікатою (вона визначає відстань від точки до площини p₁).

Кожна із координат характеризується не тільки числом, але і знаком. Знаки координат відповідають напрямкам координатних осей, додатним або від’ємним.

Додатним напрямком осі ОХ вважається напрямок вліво від точки О, додатним напрямком осі ОY – вперед від точки О (на спостерігача) і додатним напрямком осі ОZ – вгору від точки О. Від’ємними напрямками осей будуть: ОХ – вправо, ОY – назад від спостерігача, ОZ – вниз.

Для того, щоб перейти від об’ємної моделі до площинного рисунку, необхідно сумістити всі три площини проекцій в одну. Це роблять таким чином. Площину p₂ вважають нерухомою, а площини p₁ і p₃ обертаються, відповідно, навколо осей ОХ і ОZ. При цьому передня пола площини p₁ рухається вниз і суміщається з нижньою полою площини p₂, а передня пола площини p₃ рухається вправо і суміщається з правою полою p₂.

Напрямок обертання площин p₁ і p₃ показано на рис.1.5 стрілками.

У результаті розглянутого суміщення площин проекцій в одну одержуємо площинне креслення із зображеними на ньому осями координат (рис.1.6).