Лекция 13 подходы к формированию портфелей ценных бумаг

1. ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА, ЕЕ ДИНАМИКА

В основе определения стоимости и доходности ценных бумаг лежат представления о простых и сложных процентах, понятия номинальной и реальной (эффективной) ставок.

Простые проценты. Пусть имеется некоторая первоначальная сумма средств Р, вкладываемых в некоторое предприятие (банк, инвестицион­ный проект), в результате чего по истечении определенного периода первоначальная сумма изменяется на величину iP (i — процентная став­ка, по которой приращиваются проценты к первоначальной сумме Р). Обозначим через n количество периодов, в течение которых наращивает­ся первоначальная сумма до величины S (наращенная сумма), тогда за n периодов первоначальная сумма Р возрастает на величину iPn и нара­щенная сумма будет:

S = P+iPn =P(1 + in).

Множитель (1+in) называется множителем наращения по простым процентам. В рассмотренном случае наращенная сумма S определялась через первоначальную сумму Р; процентную ставку i принято называть декурсивной ставкой.

Можно изменить задачу и попытаться определить первоначальную сумму Р через наращенную S путем ее дисконтирования по процентной ставке d, называемой антисипативной. Тогда

P = S - ndS = S(1 -nd).

Множитель ¹/(1 — nd) является множителем наращения по простым процентам. Простые процентные ставки чаще всего используются в paсчетах на короткие периоды (меньше года). В связи с этим следует отметить особенность практики использования декурсивных и антисипативных ставок при n меньше года. В случае декурсивной ставки i принимается n = t /365 или n = t/366 (t - количество дней начисления). Если же используется антисипативная ставка d, то берется n = t/360.

Сложные проценты. Рассмотрим более сложный случай с учетом капитализации процентов. Тогда имеем наращиваемую сумму Р переменной в зависимости от временного периода, так что за i-й период Р увеличивается на ^P_j. Наращенная сумма S будет равна:

S = P (1 + i)ⁿ.

Для сложной антисипативной ставки:

P = S (1 – d)ⁿ.

Если n представляет собой нецелое число, например n = к + t (к - количество целых лет, t — количество дней), то для вычисления наращенной суммы S используется выражение

S = P (1+ i)^k * (1+(i * t/365)) ,

в котором наращение за целые годы определяется по сложным процентам, а за дни – по простым.

Наращенная величина S является суммой, которая будет получена в будущем, а P – ее современной величиной.

2 Определение стоимости и доходности ценных бумаг

Рассмотрим в первую очередь стоимость и доходность краткосрочных ценных бумаг (векселей, депозитных и сберегательных сертификатов). Пусть N – цена погашения векселя, который выписан на t – дней. По какой цене должен продаваться вексель, т.е. какова его цена?

Если считать, что цена погашения N - наращенная сумма, то современная величина (используем простые проценты):

Ц = N/(1+(i *t\365)), следовательно, стоимость векселя или сертификата составляет Ц.

Обратим внимание на то, что если ценная бумага выписана в пользу банка, то банк рассчитывает ее стоимость с использованием антисипативной процентной ставки. Для банка стоимость векселя или сертификата:

Ц = N (1 – d*(t/360)).

Проанализируем доходность операций с векселями или сертификатами. Под доходностью будем понимать доход держателя ценной бумаги за время владения, выраженный в годовой процентной ставке. Пусть владелец купил бумагу за t₁ дней до погашения и за t₂ дней до погашения продал ее (t₁> t₂). Определим его доход. Обозначим через i₁ и i₂ депозитные процентные ставки, действовавшие соответственно за t₁ и t₂ дней до погашения. Тогда цены покупки Ц₁ и продажи Ц₂ вычисляются следующим образом:

Ц₁ = N/(1 + (i₁*t₁/365);

Ц₂ = N/(1 + (i₂*t₂/365);

Владелец держал вексель (t₁ — t₂) дней, поэтому цены покупки и продажи связаны следующим соотношением:

Ц₂ = Ц₁* (1 + i((t₁ — t₂)/365)), где i - годовая доходность владельца, отсюда

i = (Ц₂ / Ц₁ - 1) * (365 /(t₁ — t₂)) = (i₁*t₁ - i₂*t₂)/(1 + (i₂*t₂/365) *(t₁ — t₂)).

Облигации с фиксированной купонной ставкой.

При определении стоимости применима модель постоянной ограниченной ренты (ряд последовательных платежей через равные промежутки времени). Кроме этого необходимо учесть приведенную стоимость погашения облигации. Тогда стоимость облигации:

, где

r – купонный процент;

N – номинальная стоимость облигации;

i – приемлемая ставка процента;

t – период, лет.

Облигации с нулевым купоном.

Эти облигации продаются с дисконтом, их стоимость:

Ц = N /(1+i)ⁿ .

Облигации с равномерно возрастающей купонной ставкой.

При определении стоимости такой облигации используется модель переменной ренты с постоянным приростом платежей, при этом R = g * N. E = g^’ *N (g^’ – прирост купонной ставки за g период). Тогда стоимость облигации:

Ц = g *N *((1+i)ⁿ -1) \ (i* (1+i)ⁿ)) +E *((1 +i)ⁿ - (1+in) / i²*(1+i)ⁿ) +N/(1+i)ⁿ.

Купонная доходность для n – го периода составляет g + g^’ *(n- 1).

Текущая доходность: i_Т = ((g+g^’ (n – 1))*N) \Ц.

Облигации типа «французская рента»

При оценке этих облигаций используется модель постоянной вечной ренты. Модели оценки этих облигаций аналогичны моделям оценки облигаций с фиксированной купонной ставкой. Отличие состоит лишь в «продолжительности жизни» - для облигаций типа «французская рента» n стремиться к бесконечности. Тогда стоимость этих облигаций:

Ц = gN\ i

Акции

Поскольку срок действия акции не ограничен, предположив, что дивиденд за каждый год является постоянным и равным Д в абсолютном выражении, можно для определения стоимости акций использовать модель вечной ренты. В этой модели член R =Д, тогда стоимость акций:

Ц = Д/i.

При оценки стоимости акций используется понятие курса акций, который находится как отношение стоимости акции к номиналу:

К = Ц/N = (Д/N) /i

Либо в долях единицы, либо в % (в этом случае обе части равенства необходимо * 100%). В литературе существует путаница в использовании понятия «курс акции», связанная с двояким представлением дивиденда (в абсолютном и в процентном выражении). Необходимо помнить, что дивиденд всегда определяется в абсолютном (денежном) выражении, его же процентное выражение получается от сопоставления абсолютного значения дивиденда с номиналом.

Один из способов вычисления рыночной стоимости акции исходит из предположения о существовании двух типов инвесторов. Одни ориентируются на высокое дивидендное покрытие, другие – на прирост стоимости акций. Согласно этому, рыночная цена акций определяется как средневзвешенная сумма:

Ц_р = х* (Д/i) + у*Ц_з, х + у = 1, где

Х – доля инвесторов, надеющихся на высокие дивиденды;

У – доля инвесторов, надеющихся на увеличение курсовой стоимости акций;

Ц_з – цена закрытия данного вида акций на прошедших торгах.