2 Метод ортогонального проекціювання

(4 год, П2, П3)

Навести відповіді та виконати графічні побудови в робочому зошиті на поставлені запитання

2.1 Для побудови комплексного креслення застосовують основний метод нарисної геометрії – метод ортогонального проек-ціювання на взаємноперпендикулярні площини проекцій.

(яким чином розташовані?)

2.2 Лінія перетину двох координатних площин проекцій називається віссю проекцій.

2.3 Лінія, що зв’язує між собою дві проекції точки, називається лінією проекційного зв’язку.

2.4 Якщо на будь-якій прямій або осі проекцій встановити систему координат, то вона перетворюється у вісь координат.

2.5 До системи координат відносять: 1) початок відліку, 2) напрям відліку, 3) масштаб відліку .

2.6 Координата – це число, що визначає положення точки у заданій системі координат.

2.7 Положення точки у тривимірному просторі (R₃) визначається (скількома?) трьома координатами: х, у, z .

2.8 Під вимірністю простору розуміють кількість взаємнопер-пендикулярних напрямів, що можна провести у будь-якій точці простору.

2.9 Координатні площини проекцій позначають великою літерою грецького алфавіту П (пі) з нижніми індексами 1, 2 або 3.

Площина П₁ – це горизонтальна площина проекцій;

площина П₂ – це фронтальна площина проекцій;

площина П₃ – це профільна площина проекцій.

На рисунку 2.1 позначте три координатні площини проекцій П₁, П₂, П₃ і відповідні їм осі проекцій, як результат перетину двох площин проекцій.

2.10 Вирізати з картону три прямокутники таких розмірів: 100 х 160 мм; 140 х 140 мм; 100 х 140 мм і привести їх до форми, що показана на рисунку 2.2. Зробити в кожному прямокутнику прорізи шириною у товщину картону і нанести позначення площин і осей проекцій, що наведені на рисунку 2.2.

Далі прямокутник П₁ з’єднати прорізями з прямокутником П₂ , а на виступ прямокутника П₂ надіти прямокутник П₃. Отримаєте три координатні площини проекцій, що визначають модель тривимірного простору.

За допомогою цієї моделі легко демонструвати утворення епюрів основних геометричних фігур: точок, прямих, площин.

Рисунок 2.1 – Координатні площини та осі проекцій

2.11 Вісь проекцій відрізняється від осі координат тим, що вісь проекцій – це безмежна пряма, і на осі проекцій не встановлена система координат (початок відліку, напрям і масштаб).

2.12 Моделлю тривимірного простору є прямокутна Декартова система трьох осей координат Охуz.

2.13 Проекційною моделлю тривимірного простору є епюр Монжа, що отримують сполученням площин проекцій П₁, П₃ з П₂ разом з проекціями оригінала.

2.14 Запис типу А (30, 20, 35) означає, що 30 – це координата х, яка визначає відстань точки А від координатної площини П₃; 20 – це координата у, яка визначає відстань точки А від координатної площини П₂, 35 – це координата z, яка визначає відстань точки А від координатної площини П₁.

На моделі тривимірного простору (R₃) – декартовій системі осей координат Oxyz (рисунок 2.3) :

– побудувати точку А за допомогою заданих її трьох координат x, y, z;

– координатну ламану Oxyz точки А обвести суцільною товстою основною лінією;

– побудувати три проекції А₁, А₂, А₃ точки А.

Рисунок 2.3 – Модель тривимірного простору

2.15 Задані три точки: А (20, 10, 45); В (50, 20, 25); С (35, 35, 0).

Точка В має найбільше віддалення від площини проекцій П₃, бо вона має найбільшу координату x = 50 мм, точка С розташована у площині проекцій П₁ , бо її координата z = 0 мм, точка С однаково віддалена від площин проекцій П₃ і П₂ , бо її координати x = y = 35 мм.

Якщо точка однаково віддалена від будь-яких двох координатних площин проекцій, то вона розташована у бісекторній площині, що поділяє двогранний прямий кут між цими площинами навпіл.

2.16 Що називається визначником геометричної фігури?

Визначником геометричної фігури називається сукупність усіх умов, які цілком і однозначно визначають цю фігуру в заданій системі.. Наприклад, визначником точки у R₃ є три її координати х, у, z.

2.17 Яким чином отримують епюр (або комплексне креслення) геометричної фігури, наприклад, точки ?

Епюр отримують сполученням площин проекцій П₁ і П₃ з П₂ разом з проекціями оригінала.

На рисунку 2.4 побудуйте епюр точки А, просторове зображення якої наведено на рисунку 2.3.

Рисунок 2.4 – Епюр точки А , або комплексне креслення її

2.18 На епюрі положення фігури у тривимірному просторі визначають будь-які її (скільки?) дві проекції (і чому?), бо вони утримують у собі всі три її координати.

2.19 Основні позиційні властивості проекцій точки на епюрі зводяться до наступних:

 горизонтальна А₁ і фронтальна А₂ проекції точки А завжди розташовуються на одній вертикальній лінії проекційного зв’язку;

якій?

 фронтальна А₂ і профільна А₃ проекції точки А завжди розташовуються на одній горизонтальній лінії проекційного зв’язку.

якій?

2.20 Наведіть алгоритм побудови епюру точки за її координатами.

1) Зображають проекційну модель R₃, тобто креслять осі координат х₁₂, у₁, у₃, z₂₃ на полі аркуша креслення.

2) Уздовж осей координат відкладають величини координат х, у, z. Причому величину координати у відкладають двічі уздовж осей у₁ і у₃. Позначають координатні точки А_х12, А_у1, А_у3, А_z23 .

3) Через координатні точки проводять прямі перпендикулярно до осей координат, що перетинаються між собою у відповідних проекціях точки.

2.21 Горизонтальна проекція А₁ точки А визначається координатами х і у;

фронтальна проекція А₂ точки А визначається координатами х і z ;

профільна проекція А₃ точки А визначається координатами y і z .

2.22 За заданими координатами 4-х точок S (35, 40, 80); A (70, 20, 0); B (0, 20, 0); C (35, 80, 0) побудувати їх епюри на площинах проекцій П₁ і П₂ (місце для побудов – на рисунку 2.5).

Сполучити однойменні проекції цих точок прямими лініями (суцільними товстими основними, s  1,0 мм).

За двома проекціями піраміди (горизонтальною і фронтальною) на рисунку 2.5 побудувати третю – профільну проекцію.

2.23 За наведеними нижче рисунками 2.6  2.12 аксонометричних зображень різних положень у просторі відрізків прямих поруч накреслити їх епюри в системі трьох площин проекцій і написати назву положення у просторі R₃ цих прямих.

Рисунок 2.5 – Місце для розв’язання завдання 2.22

Рисунок 2.6 – Аксонометричне зображення і епюр прямої загального положення

Рисунок 2.7 – Аксонометричне зображення і епюр прямої горизонтального положення

Рисунок 2.8 – Аксонометричне зображення і епюр прямої фронтального положення

Рисунок 2.9 – Аксонометричне зображення і епюр прямої профільного положення

Рисунок 2.10 – Аксонометричне зображення і епюр прямої горизонтально – проекційного положення

Рисунок 2.11 – Аксонометричне зображення і епюр прямої фронтально – проекційного положення

Рисунок 2.12 – Аксонометричне зображення і епюр прямої профільно –проекційного положення.

2.24 За поданими нижче рисунками 2.13  2.19 визначити положення заданої площини у тривимірному просторі. Нанести на епюрі проекції точок визначника площини.

Рисунок 2.13 – Площина загального положення, це така площина, що перетинає (скільки) три координатні площини проекцій та не містить у собі проекційної прямої.

Рисунок 2.14  Площина горизонтальна	Рисунок 2.15  Площина фронтальна
Рисунок 2.16  Площина профільна	Рисунок 2.17  Площина горизонтально-проекційна

Рисунок 2.18  Площина фронтально-проекційна	Рисунок 2.19  Площина профільно-проекційна

2.25 Визначити, які положення у просторі займають ребра і грані побудованої піраміди (рисунок 2.15 ) і відповіді наведіть у таблиці 2.1.

Таблиця 2.1–Положення у просторі ребер і граней піраміди (рисунок 2.5)

Геометрична фігура піраміди	Позначення геометричної фігури	Назва положення, що займає геометрична фігура у просторі
Ребро	[SA]	загального положення
Ребро	[SB]	загального положення
Ребро	[SC]	профільне
Грань	 SAB	профільно-проекційна
Грань	 SAC	загального положення
Грань	 SBC	загального положення
Грань	 ABC	горизонтальна

2.26 На окремому форматі А4 побудувати прямокутну диметричну проекцію піраміди, епюр якої наведений на рисунку 2.5.

3 ЗАДАЧІ ПОЗИЦІЙНІ (4 год, П4, П5)

Навести відповіді та виконати графічні побудови в робочому зошиті на поставлені запитання

3.1.1 Як розташовані у просторі дві точки, якщо одна пара однойменних проекцій їх збігається?

Якщо одна пара однойменних проекцій точок збігається між собою, то вони знаходяться на одному проекційному промені .

3.1.2 Які точки називають конкуруючими?

Конкуруючими називають точки, що знаходяться на одному проекційному промені .

3.1.2 Визначити взаємне розташування точок, що показані на рисунку 3.1 а, b, c. Відповідь наведіть у таблиці 3.1.

Рисунок 3.1

Таблиця 3.1 – Відповіді на запитання 3.2

Точки	Відповідь  точки розташовані:
А, В	на одному горизонтально-проекційному промені
C,D	на одному фронтально-проекційному промені
M,N	на одному профільно-проекційному промені

3.3 Визначити взаємне розташування точки відносно заданої прямої (рисунки 3.2; 3.3; 3.4; 3.5). Відповідь наведіть у таблиці 3.2.

Рисунок 3.2 Рисунок 3.3 Рисунок 3.4 Рисунок 3.5

Таблиця 3.2 – Відповіді на запитання 3.3

Рисунок	Відповідь про взаємне розташування заданої точки і прямої
3.2	Точка А не належить до заданої прямої m
3.3	Точка А не належить до заданої прямої m
3.4	Точка А не належить до заданої прямої m
3.5	Точка С не належить до профільної прямої АВ

3.4 За заданими епюрами двох прямих (рисунки 3.6; 3.7; 3.8) визначити їх взаємне розташування. Відповіді наведіть у таблиці 3.3.

Рисунок 3.6 Рисунок 3.7 Рисунок 3.8

Таблиця 3.3 – Відповіді на запитання 3.4

Рисунок	Відповідь про взаємне розташування двох прямих
3.6	Прямі а і b перетинаються у точці М
3.7	Прямі а і b паралельні між собою
3.8	Прямі а і b мимобіжні

3.5 Запишіть теорему про проекціювання прямого кута, що утворений двома прямими, які перетинаються між собою.

Теорема про проекціювання прямого кута. Якщо хоча б одна із сторін прямого кута паралельна до площини проекцій, а інша не перпендикулярна до неї, то його проекція на цю площину не змінює своєї величини.

3.6 За заданими епюрами прямої і площини (рисунки 3.9; 3.10; 3.11) визначити їх взаємне розташування. Відповіді наведіть у таблиці 3.4.

Таблиця 3.4 – Відповіді на запитання 3.6

Рисунок	Відповідь про взаємне розташування прямої і площини
3.9	Пряма n перетинає фронтально-проекційну площину у т.D.
3.10	Пряма n паралельна до фронтально-проекційної площини
3.11	Пряма n належить до фронтально-проекційної площини

Рисунок 3.9 Рисунок 3.10 Рисунок 3.11

3.7 За даними, що наведені на рисунку 3.12 наведіть алгоритм побудови точки перетину прямої з площиною.

3.8 За наведеними аксонометричними рисунками 3.13 і 3.14, що наочно демонструють алгоритм побудови лінії перетину двох площин, навести його для випадку її побудови для розв’язаної вже задачі на рисунку 3.15. Алгоритм наведіть для побудови спільних двох точок 3 і 6, що визначають спільну лінію перетину заданих площин.

а) б) Рисунок 3.12 – Побудова точки перетину прямої з площиною загального положення: а) наочне зображення; б) на епюрі

Алгоритм побудови точки перетину прямої з площиною складається з таких кроків:

1) через пряму проводять допоміжну проекційну площину;

2) будують лінію перетину допоміжної площини із заданою, тобто знаходять конкуруючу пряму до заданої, що розташована в площині.

3) будують точку перетину прямої із площиною як результат перетину цієї прямої із конкуруючої, що розташована у площині.

Рисунок 3.13 – Побудова лінії перетину двох площин як результат перетину 2-х прямих одної площини з іншою площиною

Рисунок 3.14 – Побудова лінії перетину площин за допомогою застосування 2-х площинпосеред-ників

Рисунок 3.15 – Побудова лінії перетину двох площин