Закріплення споживачів однорідного вантажу за постачальниками

Зводимо дані, наведені в табл. 10.1, 10.2, 10.4, в табл. 10.5, яка називається матрицею. У верхніх правих кутах кожної клітинки матриці з табл. 10.4 записуємо відстані між постачальниками А_і і споживачами Б_і.

Згідно з вихідними даними, у постачальника є кількість вантажу Q'= ∑А_і = 800 + 200 + 800 + 1100 = 2900 (т), а необхідна споживачам кількість вантажу Q" = ∑Б_і = 300 + 400 + 200 + 500 +800 + 600 = 2800 (т).

Таблиця 10.5

Пункт споживання	Пункт відправлення				Потрібна кількість вантажу, т
	А1	А2	А3	А4
Б1	10	12	13	11	300
Б2	4	5	4	6	400
Б3	6	8	2	2	200
Б4	8	10	6	4	500
Б5	3	6	8	5	800
Б6	5	3	5	5	600
	800	200	800	1100	2900

Загальний об'єм вантажу, який є в наявності, перевищує попит усіх споживачів. Для розв'язання задачі необхідно збалансувати збут і споживання, для чого в даному випадку вводиться так званий фіктивний споживач Б_ф. Його попит дорівнює перевищенню загального об'єму вантажу над сумарним об'ємом попиту, тобто 2900 т - 2800 т= 100т.

Замість відстаней у клітинках цього рядка запишемо нулі. Якщо загальний об'єм вантажу, який є в наявності, менший сумарного попиту всіх споживачів, в матрицю аналогічно вводиться фіктивний постачальник.

Одним із основних резервів зниження транспортних витрат у даній задачі є мінімум транспортної роботи, що і буде критерієм оцінки оптимальності.

В процесі роботи виникають додаткові вимоги, яких потрібно дотримуватися при плануванні. Одна з таких вимог - обмеження в постачанні. Такі обмеження враховують, проставляючи в клітинки, які лежать на перетині рядка відповідного постачальника, замість фактичної відстані наперед більшого числа, наприклад 100. Задані в задачі обмеження будуть витримані, оскільки в оптимальному розв'язанні / через велику відстань/ ці клітинки виявляться не завантаженими.

У цій задачі, виходячи з п.1 приміток, цифру 100 проставимо в клітинках А₂Б₃; згідно з п.2 приміток цифру 100 проставимо в усі клітинки рядка споживача Б₅, крім клітинки А₄Б₅.

Для розв'язання задачі застосуємо метод потенціалів, у відповідності з яким, процес відшукання оптимального плану включає в себе такі етапи:

1. Складання вихідного плану.

2. Перевірку його на оптимальність.

3. Покращення плану, доведення його до оптимального.

Перший етап виконується один раз, а другий і третій повторюються доти, поки не буде одержано оптимальний варіант.

Для зменшення трудомісткості розв'язування матриці рекомендується:

1) записати матрицю на цупкому папері;

2) всі вихідні дані /позначення А_і і Б_і, відстані між ними, наявність і потребу вантажу/ записувати чорнилом;

3) всі інші операції /попередній розподіл, переміщення завантаження за рядками і стовпцями, індекси, потенціали, контури/ записувати олівцем;

4) після обробки кожного варіанта розподілу не переписувати матрицю заново, а стирати гумкою цифри, які замінюються, і на їх місце олівцем записувати нові;

5) остаточний /оптимальний/ розв'язок записати в матрицю чорнилом.

На першому етапі попередньо закріплюють споживачів за постачальниками, починаючи з постачальника А₁. Для цього вибирають найменшу відстань у стовпці А₁ і в цю клітинку записують кількість потрібного вантажу для даного споживача, якщо вона не перевищує вантажу, який є у постачальника А1. Залишок вантажу в постачальника поміщають в наступну за

найменшою відстанню клітинку цього стовпця. Після розподілу вантажу від А₁ переходять до А₂ , тощо /табл.10.6/.

Таблиця 10.6

Пункт спожи-вання	Пункт відправлення					Потрібна кількість вантажу, т
	v u	А1	А2	А3	А4
		0	-2	0	11
Б1	0	10 0	12	13	11 300	300
Б2	4	4 400	5	4	9 6	400
Б3	2	6	100	2 200	9 2	200
Б4	6	8	10	6 500	13 4	500
Б5	6	100	100	100	5 800	800
Б6	5	5 300	3 200	5 100	10 5	600
Бф	0	0 100	0 200	0 100	11 0	100
		800	200	800	1100	2900

На другому етапі здійснюють перевірку плану на оптимальність методом потенціалів.

Якщо план транспортної задачі є оптимальним – йому відповідає система з m+n чисел u_i i v_j, які задовольняють вимогам:

u_i+V_i=l_ij для X_ij>0;

u_i+V_i≤l_ij для X_ij=0;

(i=1,2,…,m; j=1,2…n).

Числа u_i і V_j звуться допоміжними величинами.

Для перевірки оптимальності обдуманого плану закріплення постачальників за споживачами знаходимо числові значення допоміжних величин u_i і V_j.

Приймаючи спочатку V₁ =0, визначаємо u₆ з виразу u₆+V₁=l₆₁. u₆= l₆₁- V₁=5-0=5.

За отриманими значеннями u₆ визначаємо V₂=3-5=-2, V₃=5-5=0 і т. ін. Значень u₁, u₅, u₄ визначити не можливо. Для знаходження всіх числових значень показників необхідно, щоб у матриці було m+n-1 завантажених клітинок, де m - кількість постачальників, n - кількість споживачів. У даному випадку m+n -1 = 4+7-1 = 10, а число завантажених клітинок - 9.

Необхідно довантажити кількість клітинок, яких не вистачає, для чого в них записуємо нуль, і в подальшому з цими клітинками оперуватимемо як із завантаженими. Нуль слід поставити в ту клітинку, що лежить на перетині рядка або стовпчика, який не має показників, з стовпчиком або рядком, для яких показники визначені. Такою клітинкою буде А₁Б₁ потім визначимо значення показників u і v, яких не вистачає, і обчислимо показники потенціалів d для всіх не завантажених клітинок за виразом d = u + V - c, а також знайдемо ті клітинки, для яких d > 0. Такими потенційними клітинками будуть А₄Б₂- -d= 9; А₄Б₃-d = 9; А₄Б₄-d=13; А₄Б₆-d=10; А₄Б_ф-d=11.

Наведемо отримані значення d у лівих верхніх кутах відповідних клітинок

табл. 10.6.

Щоб покращити розподіл, серед усіх потенційних клітинок знаходимо клітинку з найбільшим потенціалом і для неї будуємо прямокутний контур. Вигляд контуру може бути різним, однак усі вершини контуру, крім однієї, яка розміщується в потенційній клітинці, повинні лежати в навантажених клітинках. Будуємо контур для клітинки А₄Б₄ в табл.10.6. Усім вершинам контуру поперемінно присвоюємо знаки "+" і "-", починаючи з потенційної клітинки, якій присвоюємо знак "-". Із всіх клітинок, які позначені знаком "+", вибираємо найменшу цифру завантаження. В даному випадку це буде завантаження 300 т у клітинках А₁Б₆ і А₁Б₄. Цю кількість вантажу віднімаємо із усіх клітинок зі знаком "+" і добавляємо до клітинок зі знаком "-". Отримуємо нове закріплення споживачів за постачальниками, яке знову досліджуємо на оптимальність описаним способом. Ознакою одержання оптимального закріплення є відсутність

потенційних клітинок. Таке оптимальне закріплення наведено в табл. 10.7.

Таблиця 10.7

Пункт спожи-вання	Пункт відправлення					Потрібна кількість вантажу, т
	v u	А1	А2	А3	А4
		0	-2	0	-2
Б1	10	10 300	12	13	11	300
Б2	4	4 400	5	4 0	6	400
Б3	2	6	100	2 200	2	200
Б4	6	8	10	6 200	4 300	500
Б5	7	100	100	100	800 5	800
Б6	5	5	3 200	5 400	5	600
Бф	0	0 100	0	0	0	100
Наявність вантажу, т		800	200	800	1100	2900

Об'єм транспортної роботи для оптимального розподілу:

р" = 300∙10 + 400∙4 + 200∙2 + 200∙6 + 300∙4 + 800-5 + 200∙3 + 400∙5 + 100∙0= 14000 т∙км.

Отже, оптимальний розподіл порівняно з початковим дає зменшення об'єму транспортної роботи на 900 т∙км, тобто на 6 %.