Классификация элементарных функций по л. Эйлеру

Неэлементарными являются функции, заданные несколькими аналитическими выражениями. Например, функции, представленные в табл. 9.2.

Т а б л и ц а 9.2

	y = [x] или E(x) – наибольшее целое число, не превосходящее x
y = {x} – дробная часть, причем {x} = x – [x], T = 1	(лат. signum – «знак»)

Элементарными, просто элементарными или сложными называются функции, заданные одним аналитическим выражением, полученным конечным числом алгебраических операций или композицией (наложением функции на функцию) основных элементарных функций.

Например, функции , , , , – элементарные функции.

В различных отраслях прикладной психологии для аналитического выражения законов и эмпирических закономерностей используют некоторые функции одного аргумента. Примерами применения линейной функции y = ax + b могут служить так называемые законы Хика–Хаймена и Николаева:

BP = aY +b и BP = 0,03 Y,

выражающие зависимость времени реакции выбора (BP) от количества информации (Y) на стимул.

Классический пример психологического применения логарифмической функции представляет собой психофизический закон Фехнера:

S = a lg Y + b,

где S – интенсивность ощущения, Y – интенсивность раздражителя, a и b – константы, зависящие от условий и вида раздражителей.

В различных областях прикладной психологии используется закон Пьерона, или закон силы, математически выражаемый гиперболическими функциями:

BP = ax^–n + b.

Одна из реализаций этого закона в области слежения за движущейся целью, осуществляемого человеком, в явном виде выглядит так:

,

где 0  v_ц   – скорость видимого движения цели, мм/с.

Пример применения показательной функции одного аргумента – это экспоненциальная зависимость, использованная И. Гербартом как модель скорости смены представлений в сознании:

y = a(1 – e^–bx),

где x – время, y – скорость, a и b –константы, зависящие от опыта.

Частотные свойства многих психофизических процессов описываются сложными функциями одного аргумента, например затухающим синусом или косинусом:

y(t) = Ae^{–a| t |} sin bt (или cos bt),

где t – реальное время, y(t) – автокорреляционная функция, A – амплитуда, b – круговая частота колебаний, a – константа.

Пример 9.1. Классифицируйте элементарные функции:

1)  ; 2)  ; 3)  ; 4)  ;

5)  ; 6)  ; 7)  ;

8)  ; 9)  ; 10)  .

Ответ: Алгебраические: 1, 2, 3, 6, 7, 8, из них: рациональные: 1, 2, 6, 7, 8; причем 2, 6, 8 – целые рациональные, 6 – линейная, 8 – квадратичная, 3 – полином третьей степени. Функции 1, 7 – дробно-рациональные, при этом 7 – дробно-линейная. Функция 3 – иррациональная, функции 4, 5, 9 и 10 – трансцендентные.

У

Рис. 9.7

мение классифицировать сложную функцию, полученную с по­мощью композиции, (рис. 9.7), т. е. умение правильно выбрать «внешнюю» функцию, необходимо при вычислении пределов, при дифференцировании и интегрировании.

Замечание. Для безошибочной классификации таких сложных функций можно рекомендовать их анализ в виде блок-схемы, приведенной на рис. 9.8. В этой схеме «внешней» является функция g.

Рис. 9.8

Пример 9.2. Представить в виде блок-схемы композицию функций:

а) ; б) ; в) .

Ответ: а) : «внешняя» функция – степенная;

б) : «внешняя» функция – тригонометрическая;

в) : «внешняя» функция – обратная тригонометрическая.

Пользуясь графиками основных элементарных функций, можно строить графики элементарных функций, рассматривая последние как «преобразованные основные элементарные функции» (табл. 9.3).

Т а б л и ц а 9.3

№ п/п	Вид функции	Описание преобразования	График функции
1	y = f (x  a), a > 0	Параллельный перенос Γf вдоль оси 0x на величину, равную a
2	y = f (x)  b, b > 0	Параллельный перенос Γf вдоль оси 0y на величину, равную b
3	y = A f (x)	A > 1 – растяжение, 0 < A < 1 – сжатие Γf вдоль оси 0y. A = –1 – зеркальное отображение Γf относительно оси 0x
4	y = f(kx)	k > 1 – сжатие, 0 < k < 1 – растяжение Γf вдоль оси 0x. k = –1 – зеркальное отображение Γf относительно оси 0y

О к о н ч а н и е т а б л. 9.3

№ п/п	Вид функции	Описание преобразования	График функции
5	y = f (| x |)	Зеркальное отображение относительно оси 0y той части графика Γf, для которой x  0
6	y = | f (x) |	Зеркальное отображение части Γf, расположенной ниже оси 0x, остальная часть Γf остается без изменений

Из табл. 9.3 (п. 1–4) видно, что в случае линейного аргумента, т. е. если y = Af (kx + c) + b или y = Af (k (x + c/k) ) + b, график функции необходимо преобразовать в такой последовательности:

1. перенести начало координат в точку (–c/k, b);

2. построить график функции y = f (x) в новой системе координат;

3. растянуть (сжать) график вдоль оси 0x;

4. растянуть (сжать) график вдоль оси 0y.

Сформулируем общую задачу – построить график функции, произведя минимальное исследование.

При анализе любой функции нужно найти область определения D_f, если она не задана. В задачах, связанных с преобразованиями, требуется найти и область значений E_f. При исследовании функций необходимо проверять функции на четность, а также устанавливать периодичность функции. Выделяя свойства четности и периодичности, мы сужаем интервал исследования функции, упрощаем построение графиков.

Дадим определения основных характеристик поведения функции в целом.

1. Область определения (существования) функции D_f – множество всех значений аргумента x, для которых функция y = f (x) определена.

2. Множество значений функции E_f

.

3. Четность, нечетность функции:

f (x) – четная функция ,

f (x) – нечетная функция .

График четной функции симметричен относительно оси 0y	График нечетной функции симметричен относительно начала координат – точки 0

Если функция не является четной или нечетной, то она является функция общего вида.

4. Периодичность функции:

f (x) – периодическая функция .

Наименьшее из чисел T, удовлетворяющих условию f (x + T) = f (x), называется периодом функции.

5. Монотонность функции. Введем обозначение для монотонно возрастающей (убывающей) f (x) на отрезке [a, b]: функцию f (x) f (x) , тогда

,

.

График монотонно возрастающей функции	График монотонно убывающей функции

6. Ограниченность функции:

f (x) ограничена на отрезке [a, b] .

График ограниченной на [a, b] функции	График неограниченной на [a, b] функции

Пример 9.3. Найдите области определения и области значений функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Ответ: 1) D_f = {x | x  –2}, E_f = {y | y  –4};

2) D_f = {x | x > 1}, E_f = {y | y > 0};

3) D_f = {x | x > –1/3}, E_f = {y | – < y < };

4) D_f = {x | | x | > 1}, E_f = {y  (0, )}.

Пример 9.4. Выберите из предложенных функций четные, нечетные и функции общего вида:

1) f(x) = x+1/x; 2) f(x)=e^–x; 3) f(x) = sign xx; 4) f(x) = tg2x; 5) f(x) = = x²+2x–3;

6) f(x) =arcsin x; 7) f(x) = | x |; 8) ; 9) ;

10) .

1) ;

9) .

В обоих случаях функции нечетные.

Замечание. Если при проверке функции на четность возникают затруднения, то иногда можно воспользоваться тождествами:

f(x) + f(–x) = 0 для нечетной функции,

f(x) – f(–x) = 0 для четной функции.

10)

.

Ответ: 4), 6), 8), 10) – нечетные функции; 3), 7) – четные функции;                 2), 5) – функции общего вида.       

Пример 9.5. Выяснив, какие из функций являются периодическими, определите их период T и постройте график:

1) f(x) = 4 cos 3x; 2) f(x) = e^x; 3) f(x) = {x};

4) f(x) = [x]; 5) f(x) = ctg x/2; 6) f(x) = cos²2x.

Замечание. В физике для описания колебательных процессов используются периодические функции f(t) = Asin(t + ), называемые гармониками с амплитудой | A |, частотой  и начальной фазой . Период этой функции может быть найден по формуле: .

1) f(x) = 4 cos 3x; A = 4,  = 3,  = 0, T = 2/3;

5) f(x) = ctg x/2; T = 2;

6) Для нахождения периода функции иногда необходимо сделать тождественные преобразования: .

Ответ: 1), 3) (T = 1); 5, 6) – периодические;

2), 4) – непериодические.         

Пример 9.6. Найдите обратную функцию, область ее определения. Постройте график обратной функции, если исходная функция задана на указанном промежутке:

а) y = x² – 2x, x[1, 3]; б) , x(1, );

в) , x[, 3].

a) y = x² – 2x, x  [1, 3].

П остроим график исходной функции и часть графика, которая соответствует значениям x  [1, 3], обозначим Γ_f. Затем зеркально отобразим кривую Γ_f относительно прямой y = x. Полученная кривая Γ_f ^–1 и является графиком обратной функции. Найдем аналитическое выражение обратной функции:

y = x² – 2x, y + 1 = x² – 2x + 1, y + 1 = (x–1)², .

Заменяя x на y, а y на x, получаем:

, x[–1, 3].

б) , x  (1, ).

.

Окончательно:

.

в) , x  [, 3].

Учитывая, что для исходной функции | A | = 3/2, T = 4, строим ее график и выделяем часть, соответствующую изменению аргумента x. Затем строим кривую Γ_f ^–1. Находим аналитическое выражение обратной функции:

О кончательно:

Подбираем такое значение k, при котором кривая Γ_f ^–1 проходит через точку (0, 2). Если y(0) = 2, то 2 = (–1)^k  2  0 + + 2k, и имеем k = 1. Окончательно:

.

Замечание. Иногда график функции можно построить, предварительно заменив ее тождественной функцией.

Пример 9.7. Заменив функцию тождественной, построим ее график:

а)  ; б)  ; в)  ;

г)  .

а) , если , .

Графиком функции является прямая y = 1 с выколотыми точками .

^.

б) , если x = k, D_f = {x | x = k}.

График функции – точки-«бусинки», нанизанные на невидимую параболу y = x².

в) .

г) .

Пример 9.8. Определите, какие из приведенных функций являются монотонными и ограниченными на указанных отрезках:

1) y = (x – 3)(x + 2), x  [–2, 2]; 2) y = e^–3x, x  [0, 1];

3) y = cos x, x  [0, ]; 4) y = arcsin x, x  [–/2, /2];

5) y = sin x, x  [–, /2];

Ответ: 2), 3), 4) – монотонные и ограниченные функции;

1), 5) – немонотонные.                                             

Пример 9.9. Постройте графики функций, используя приемы преобразования графиков основных элементарных функций.

1) y = 3sin(2x – /3); 2) y = | ln(x + 1) |;

3) y = ln | x |; 4) y = |x + 3| + |x – 2|;

5) y = | 2 + 1/x |; 6) ; 7) y = | sin x |;

8) y = sin |x|; 9) y = e^|–x|; 10) .

1) D_f = {x | xR}. Данная функция – функция линейного аргумента. График получается из графика функции y = sin x по следующей схеме:

sin x  sin 2x  3sin 2x  3sin 2(x – /6).

Таким образом, преобразования графика функции y = sin x следующие:

1. Сжатие в 2 раза по оси 0x (период T при этом уменьшается в 2 раза и становится равным T = );

2. Растяжение вдоль оси 0y в 3 раза (амплитуда синусоиды равняется 3);

3. Параллельный перенос графика вдоль оси 0x вправо на величину ₀ = /6.

В результате получаем:

2) D_f = {x | x > –1}. Сначала построим график функции y = ln(x + 1). График смещен вдоль оси 0x влево на 1 от графика функции y = ln x.

.

График функции y = | ln (x + 1)| есть зеркальное отображение относительно оси 0x той части графика функции y = ln(x + 1), которая расположена ниже оси 0x. Остальная часть графика y = ln(x + 1), расположенная выше оси 0x, остается без изменения.

3) D_f = {x | x  0}. Функция y = ln| x | (не путать с | ln x |) – четная функция, область определения которой – вся числовая ось, кроме значения x = 0. Так как и для отрицательных значений x величина | x | > 0, то функция y = ln| x | определена. График данной функции симметричен относительно оси 0y и при x > 0 совпадает с графиком функции y = ln x.

график постройте самостоятельно.

4) D_f = {x | xR}.

,

.

Разделим всю числовую ось точками x = –3 и x = 2 на промежутки (–, 3), [3, 2), [2, ).

.

Ответы: 5)

6)

7)

8)

9)

10)

Пример 9.10.

а) Опишем аналитически поведение функции f(x) по ее графику.

1. D_f = {x | – < x < };

2. E_f = {y | 0  y < 4};

3. f (x) – общего вида;

4. Прямая y = 0 – горизонтальная асимптота при x  +;

5. Функция f (x) монотонно убывает, если x  (–, 0)  (2, +) и возрастает, если x  (0, 2).

6. Функция f (x) имеет «пиковый» минимум в точке x = 0, f_min(0) = 0.

Функция f (x) имеет «гладкий» максимум в точке x = 2, f_max(2) = 4.

7. График функции является выпуклым, когда x  (–, 0)  (0, 3) и вогнутым для x  (3, +), точка x = 3 является точкой перегиба графика, f (3) = 1.

б) Построим схематически график функции по ее аналитическому описанию.

1. D_f = {x | – < x < }.

2. E_f = {y | –2  y  2}.

3. f (x) – нечетная функция, f (0) = 0.

4. Прямая y = 0 – горизонтальная асимптота.

5. Точка x = 3 – точка «гладкого» максимума, f (3) = 2.

6. Точка x = 5 – точка перегиба графика функции, f (5) = 1.

в) Построим схематически график функции по ее аналитическому описанию.

1. D_f = {x | (–, –2)  (–2, }.

2. E_f = {y | y  R}.

3. f (x) – функция ни четная, ни нечетная.

4. Прямые x = –2 – вертикальная и y = –x – наклонная асимптоты.

5. Функция f(x) не имеет точек максимума и перегиба, убывает во всей области определения.