Задания для самостоятельного решения

8.1. Преобразование задано матрицей А. Являются ли векторы Х₁, Х₂, собственными? Для собственных векторов найти соответствующие собственные числа. Привести пример вектора, параллельного собственному вектору, и проверить, является ли этот вектор также собственным:

А = , Х₁ = , Х₂ = .

8.2. Найти и построить собственные векторы преобразования, заданного матрицей А. В каких случаях эти векторы ортогональны?

1) А = ; 2) А = ; 3) А = ;

4) А = ; 5) А = ; 6) А = .

Занятие 9

Функции и их графики

1. Область определения, множество значений и график функции. 2. Способы задания функций. 3. Элементарные функции и их классификация. 4. Сложная и обратная функции. 5. Построение графиков элементарных функций преобразованием графиков основных элементарных функций

Рассмотрим числовые множества X  R, Y  R. Функцией называется правило f, по которому каждому элементу x  X ставится в соответствие единственный элемент y  Y, обозначаемый y = f(x), где x – независимая переменная, аргумент, y – зависимая переменная, функция. Множество X – область определения (существования) функции (обозначение – D_f, или D(f)), множество Y – множество значений (изменения) функции (обозначение – E_f, или E(f)). Говорят, что в этом случае дано отображение множества X на множество Y, и пишут f: или (рис. 9.1).

С

Рис. 9.1

войства функции y = f(x) становятся более наглядными, если построить ее график Γ_f, рассматривая независимую переменную x и функцию y как прямоугольные координаты некоторой точки M(x,y) на плоскости x0y (рис. 9.2):

Γ_f = {(x, f(x)) | x  D_f, y  E_f}.

Отметим, что линии, изображенные на рис. 9.3, не являются графиками функций, поскольку каждому значению x соответствует более одного значения y.

Рис. 9.2 Рис. 9.3

Отображение называется взаимно однозначным, если каждому элементу х  Х соответствует единственный элемент y  Y (дана функция f(x)) и каждому значению y  Y сопоставляется единственное значение х  Х (рис. 9.4), (рис. 9.5). Функция, осуществляющая

Рис. 9.4 Рис. 9.5

отображение Y  X, называется обратной к функции y = f(x) и обозначается x = f^–1(y), где y – аргумент, x – функция. Ясно, что «прямая» функция y = f(x) и обратная x = f^–1(y) изображаются одной кривой (рис. 9.5).

Может оказаться, что при обратном отображении Y  X одному значению y соответствует несколько значений x. Примеры отображений, не являющихся взаимно однозначными, приведены в табл. 9.1. В примере 2 каждому значению y соответствует два значения x, а в примере 3 – бесконечное число значений x. Это не соответствует определению функции, поэтому в примере 2 имеем две обратные функции:  (y  0, x  0) и (y  0, x  0).

Т а б л и ц а 9.1

№ п/п	Функция	График функции	Иллюстрация отображения
1	y = x–1 Df = {x | x  R} Ef = {y | y  R}		Взаимно однозначное отображение
2	y = x2 Df = {x | x  R} Ef = {y = |0  y < }		Отображение не является взаимно однозначным
3	y = cos x Df = {x | x  R} Ef = {y | – 1  y  1}		Отображение не является взаимно однозначным

В

Рис. 9.6

озникает вопрос: в каком случае отображение взаимно однозначно, т. е. обратная функция единственна? Если функция y = f (x) монотонно убывает или монотонно возрастает на каком-либо множестве A  X, то обратная функция существует и единственна (табл. 9.1, пример 1). При нахождении обратных тригонометрических функций (табл. 9.1, пример 3) выбирают отрезки, где тригонометрические функции монотонны.

Если для обратной функции принять привычные обозначения: x – аргумент, y – функция (т. е. переопределить элементы x  y и множества X  Y), то обратная функция запишется в виде y = f ^–1(x). В практической части курса математики эти переопределенные функции и принимают за обратные. График функции y = f ^–1(x) симметричен графику функции y = f(x) относительно биссектрисы y = x первого координатного угла.

Для примера 2 табл. 9.1 график функции (x  0, y  0) симметричен половинке графика функции y = x² при x  0, а график функции (x  0, y  0) – половинке графика функции y = x² при x  0 относительно прямой y = x (рис. 9.6).