Элементы векторной алгебры II

1. Cобственные векторы, собственные числа. 2. Характеристическое уравнение

При преобразовании вектора Х полученный вектор может остаться коллинеарным вектору Х или не быть таковым. Рассмотрим такие векторы, для которых:

АХ = X.

Собственными векторами матрицы А называются ненулевые векторы Х, которые при преобразовании, заданном матрицей А, остаются коллинеарными самим себе. Число  называют собственным числом матрицы А.

В применяемом в психологии методе главных компонент факторного анализа собственные числа корреляционной матрицы играют основную роль.

Отметим, что если Х – собственный вектор преобразования, заданного матрицей А, то любой вектор, параллельный Х, также является собственным вектором этого преобразования и отвечает тому же собственному числу.

Пример 8.1. Проверить, являются ли векторы Х₁, Х₂, Х₃ собственными векторами преобразования, заданного матрицей А,

, А = .

Если являются, то найти соответствующие собственные числа . Привести пример вектора, параллельного собственному вектору и убедиться, что он также является собственным,

АХ₁ =

Отсюда следует, что вектор Х₁ является собственным вектором матрицы А и отвечает собственному числу  = – 1.

Приведем пример вектора Х, параллельного Х₁, и докажем, что этот вектор также является собственным и отвечает собственному числу  = – 1.

Выберем, например,

АХ =

По определению собственного вектора вектор Х – собственный;  = –1.

Ответ: Х₂ – не является собственным;  

Х₃ – собственный вектор, ₃ = 3.

Как находить собственные векторы?

Пример 8.2. Найти собственные векторы матрицы А = .

Обозначим собственный вектор

Собственный вектор удовлетворяет матричному равенству АХ = X, т. е. , которое равносильно системе .

Приведем подобные слагаемые в каждом уравнении, тогда система будет иметь вид:

()

Полученная система является однородной и имеет ненулевое решение, если ее определитель равен нулю. Поскольку матрица системы имеет вид:

,

то определитель системы . Это уравнение (уравнение относительно ) называется характеристическим.

Составим характеристическое уравнение: .

Найдем его решения: ² – 5 + 6 = 0  ₁ = 2, ₂ = 3.

Найдем собственные векторы X₁ и X₂, отвечающие собственным числам ₁ и ₂.

Из (), при  = ₁ = 2.

 y – х = 0 

Из (), при  = ₂ = 3.

 –2х + y = 0 

Ответ: ,

Замечание: Отметим, что матрица А не является симметрической, а найденные собственные вектора не ортогональны Х₁  Х₂ = = 1  1+1  2  0.

На основе разобранного примера приведем общий план решения этой задачи.

Алгоритм 7

Построение собственного вектора матрицы А =

Шаг 1. Составляем систему для нахождения координат собственного вектора

=  (**)

Шаг 2. Составляем характеристическое уравнение det (A – E) = 0 или .

Находим ₁, ₂ – собственные числа матрицы А;

² – (a₁₁ + a₂₂) + (a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁) = 0.

Шаг 3. Находим собственные векторы Х = , подставляя найденные значения ₁, ₂ в систему (**):

а) При  = ₁ находим собственный вектор Х₁ = из системы

.

б) При  = ₂ находим собственный вектор Х₂ = из системы

.

Шаг 4. Проверяем, верно ли найдены собственные векторы Х₁ = и Х₂= из соотношений АХ₁ = ₁Х₁; АХ₂ = ₂Х₂.

Пример 8.3. Найти и построить собственные векторы матриц

а) А = ; б) А = .

Ответы: а) ₁ = 1, ; ₂ = 5,

б) ₂ = 8, ; ₂ = 6,  

Пример 8.4. Найти собственные векторы преобразования, заданного симметричной матрицей А = . Что можно сказать о взаимном расположении собственных векторов?

1) Составляем характеристическое уравнение .

2) Находим собственные числа из уравнения: ² – 6 – 6 = 0   ₁ = –2, ₂ = 3.

3) Находим собственные векторы из матричного уравнения (A –E)Х = 0:

а) При  = ₁ = – 2 ищем собственный вектор Х₁ = из системы или  Х₁ = .

б) При  = ₁ = 3 ищем собственный вектор Х₂ = из системы или  Х₂ = .

4) Проверка:

а) Для Х₁ должно выполняться АХ₁ = (–2)Х₁.

Действительно:

б) Для Х₂ должно выполняться АХ₂ = 3Х₂

Действительно:

.

Вывод: Собственные векторы найдены верно.

Изобразим собственные векторы симметричной матрицы (рисунок)

Проверим ортогональность, посчитав скалярное произведение

Х₁  Х₂ = 1  (–2) + 2  1 =0  Х₁  Х₂.

Замечание: Собственные векторы симметричных матриц всегда ортогональны и образуют систему двух линейно независимых векторов – базис на плоскости x0y.

Матрицы, рассматриваемые в методе главных компонент факторного анализа, всегда симметрические, поэтому собственные числа всегда действительны и различны, а соответствующие им собственные векторы ортогональны.

Пример 8.5. Найти и построить собственные векторы симметричных матриц. Проверить ортогональность собственных векторов.

а) А = ; б) А = .

Ответы: а) ₁ = 2; Х₁ = ; ₂ = 4; Х₂ = ;

б) ₁ = 0; Х₁ = ; ₂ = 5; Х₂ = .