Скалярное произведение векторов

Из школьного курса математики известно, что скалярным произведением ненулевых векторов и называется число, обозначаемое или ( , ), и равное:

.

Если =0 или =0, то по определению, · =0. Из определения следует, что · =0 для ненулевых векторов тогда и только тогда, когда cos =0, т.е. =/2, а это означает, что векторы , перпендикулярны (ортогональны).

Свойства скалярного произведения векторов.

1. ( , ) = ( , ) (коммутативность);

2. λ ( , ) = (λ , ) = ( ) (однородность);

3. ( + ) = ( , ) + ( , ) (дистрибутивность);

4. ( , )=│ │².

Если , , то , тогда условие ортогональности имеет вид:

  = 0.

Замечание. Если ,  R², то   =0.

Пример 7.3. Найти скалярное произведение векторов, установить ортогональность векторов.

а) (3, 2), = (1, 2); б) = (2, 1),

а ) .

Изобразим векторы и на плоскости. Из рисунка видно, что векторы неортогональны (рис. 7.5).

б)  =1  2 + (– 2)  1 = 0, скалярное произведение равно нулю, векторы ортогональны (рис. 7.6).

Рис. 7.5 Рис. 7.6

Пример 7.4. Проверить, являются ли векторы ортогональными. В случаях 1) и 2) изобразить.

1) = (3, –1), = (2, 6), 2) = (1, –1), = (1, 1),

3) =(1, 0, 1), = (1, 2, 3).

Ответы: 1) да. 2) да. 3) нет.

Пример 7.5. Найти векторы, ортогональные вектору и имеющие длину, равную 10.

Ответ:

Преобразование векторов. Умножение матрицы на вектор

Рассмотрим умножение матрицы на вектор. Представим векторы матрицами-столбцами и обозначим их буквами X или Y.

Пример7.6.  Найти АХ, если .

.

В

Рис. 7.7

результате действия матрицы А на вектор Х получили другой вектор – вектор Y (рис. 7.7). Таким образом, матрица А задает преобразование вектора Х в вектор Y. Вектор Y = AX называется образом вектора Х. Если будем действовать той же матрицей А на вектор , то образ вектора равен .

В этом случае образ вектора параллелен самому вектору; . Число «три» показывает, во сколько раз «вытянулся» вектор Х₁.

Пример 7.7. Найти образы векторов Х₁, Х₂, Х₃, если преобразование задано матрицей А. Определить, параллельны ли образы векторов данным векторам.

1) ; 2) ; 3) ; .

Ответы: 1) ,  Y₁  X₁; 2) , Y₂ X₂, Y₂ = 5X₂;

3) ;  .

Задания для самостоятельного решения

7.1. Даны векторы и . Построить векторы: 3 ; ; + ; .

7.2. 1) Построить на плоскости точки

2) Найти координаты векторов и построить векторы.

3) Построить вектор и найти координаты точки D.

4) Является ли вектор параллельным вектору ?

5) Привести примеры векторов, параллельных вектору и имеющих длину в два раза большую, чем длина вектора . Сколько таких векторов можно построить?

7.3. Для точек А(3, 1, 0), В(1, 2, 2,), С(2, 3, 1),D(4, 2, –1) выполнить задания примера 7.2.

7.4. Проверить коллинеарность векторов (2, –1,3 ) и (–6, 3, –9). Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположенную стороны.

7.5. Являются ли векторы ортогональными? Изобразить векторы на плоскости.

1) = (–2,8), (4,2); 2) = (2,1), (–1,2); 3) = (1,4, –1), (2,1,6).

7.6. Определить, при каких значениях  и  векторы  = =  и коллинеарны.

7.7. Определить модуль суммы и разности векторов (3, –5, 8) и (–1,1, –4).

7.8. Привести пример двух векторов, ортогональных вектору (1, 1) и имеющих с ним одинаковую длину. Изобразить векторы.

7.9. Даны точки А(–1, 3), В(2, –1), С(0, 1). Вычислить скалярное произведение .

7.10. Определить, при каком значении  векторы и взаимно перпендикулярны.

7.11. Найти образы векторов Х₁, Х₂, Х₃, если преобразование задано матрицей А. Параллельны ли образы векторов данным векторам?

1) ; 2) ; 3) ; .

Занятие 8