а б в

Рис. 7.2

тора называется длина отрезка АВ. Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и их длины равны.

Это определение позволяет:

1. отождествлять геометрический вектор с параллельным сдвигом пространства R³;

2. считать, что все равные векторы (например, ) можно отождествлять с вектором (рис. 7.2, в), имеющим началом точку О – начало координат. Вектор называется радиус-вектором, причем он задается только одним параметром – своим концом.

Линейными операциями над векторами являются: сложение векторов и умножение векторов на действительные числа. Определение этих операций при различных способах задания векторов представлены в табл. 7.1.

Вектором – , противоположным вектору  0 называется век­тор, имеющий ту же длину, что и , но противоположно направленный.

Свойства операции сложения векторов.

1. + = + (коммутативность сложения).

2. ( )+ = + ( + ) (ассоциативность сложения).

3. = (свойство нуля).

4. +(– )= (свойство противоположного элемента).

Отметим, что операция сложения векторов обладает всеми свойствами сложения действительных чисел.

Разностью – векторов и называется по определению вектор +(- ).

Свойства операции умножения вектора на число.

1. 1· = (унитарность).

2. (ассоциативность)

Т а б л и ц а 7.1

Вид операции	Способ задания векторов
	Геометрический	Аналитический	Пример
1. Сложение векторов	а) Правило параллелограмма б) Правило треугольника
2. Умножение вектора на число:

3. (дистрибутивность сложения векторов относительно умножения на число).

4. (дистрибутивность сложения чисел относительно умножения векторов на числа).

Если вектор ≠0, то вектор – орт, т. е. единичный вектор, сонаправленный с вектором .

Если два вектора и коллинеарны, то всегда существует такое число λ  R, что = λ , это число λ называется отношением коллинеарных векторов.

Декартовы прямоугольные системы координат позволяют арифметизировать геометрию, рассматривая вместо геометрических векторов тройки чисел. Этот подход восходит к Декарту, называется координатным и позволяет упростить решения задач, связанных с векторами.

Проекцией вектора на ось (направленную прямую) l называется произведение длины вектора на косинус угла между вектором и осью l:

.

Рис. 7.3

Для любых трех точек пространства и любой оси можно показать справедливость формул:

• Пр_l = Пр_l + Пр_l

• Пр_l λ ( ) = λ Пр_l

Под координатами вектора = в декартовой прямоугольной системе координат (ДСК) понимается упорядоченная тройка чисел (Пр_ох , Пр_оy , Пр_оz ). Если точ­ки А и В в фиксированной ДСК имеют координаты (х₀, y₀, z₀) и (х₁, y₁, z₁) соответственно, то вектор в этой системе координат имеет координаты (х₁ – х₀, y₁ –y₀, z₁ – z₀). В част­ности, если х₀ = y₀ = z₀ = 0 (начало вектора совпадает с началом координат), то

Рис. 7.4

= =.(х₁ – 0, y₁ – 0, z₁ – 0) =

= (х₁, y₁, z₁).

Введем обозначения для координат вектора (рис. 7.4):

Пр_ох = а_х, Пр_оy = а_у, Пр_оz = а_z.

Если ,  ,  –единичные векторы (орты) осей ДСК, то вектор единственным образом может быть представлен в виде:

или .

Возможность представить любой вектор из R³ упорядоченной тройкой чисел позволяет все операции с векторами представить в координатной форме.

Если , и λ  R, то

1. =  а_х = в_х , а_у = в_у , а_z = в_z ;

2. װ  ;

3. ;

4. λ ;

5. + = (а_х +в_х , а_у + в_у , а_z + в_z) .

Пример 7.1. 1) Построить на плоскости точки А(0, –1), В(–1, –3), С(–2, 1);

2) Найти координаты векторов и построить их. Убедиться, что ;

3) Построить вектор и найти координаты точки D. Является ли вектор ?

4) Построить вектор и найти его координаты;

5) Является ли вектор коллинеарным вектору ?

6) Привести примеры двух векторов, коллинеарных вектору .

Ответы: 2) ;  

3) D(2,3), да. 4) (0, 6) 5) нет

6) например, (1, 2); (3, 6)                                 

Пример 7.2. Даны точки .

1. Найти координаты векторов .

2. Является ли их четырехугольник ABCD параллелограммом?

Ответы:

1) ;

2) нет, так как а  .