Формы представления чисел

В информатике применяется две формы представления чисел:

- естественная форма с фиксированной точкой (запятой),

- нормальная (экспоненциальная) форма или с плавающей точкой (запятой).

В общем случае, запись любого числа в позиционной системе счисления с основанием «Р» представляет собой ряд вида:

a _m-1*P ^m-1 + a _m-2*P ^m-2 + ….. a ₁*P ^{1 +} a ₀*P ⁰ + a _-1*P ^–1 + ….. a _-s*P ^–s (1)

где: m – определяет положение цифры в числе, т.е. разряд, начиная с целой части влево;

s – разряд, начиная с дробной части вправо.

Максимальное целое число, которое может быть представлено в “m” разрядах:

N max = P ^m-1

Минимальное число, которое можно записать в “S “ разрядах дробной части:

N min = P ^–s

Общее количество чисел может быть:

M = P ^m+s

Двоичная система счисления

Получила наибольшее распространение в информатике, т.к. внутреннее представление информации в ЭВМ также является двоичным.

Для перевода чисел в десятичную систему используется формула (1):

Пример:

1101 ₍₂₎ =1*2³ + 1*2²+ 0*2¹ + 1*2⁰

341,5 ₍₈₎ = 3*8² + 4*8¹ + 1*8⁰ 5*8^-1

A1F,4 ₍₁₆₎ = 10*16² + 1*16¹ +15*16⁰ + 4*16^-1

Правила перевода чисел из десятичной системы в двоичную:

• целая и дробная часть переводятся порознь,

• для перевода целой части числа ее необходимо разделить на основание системы, т.е. на 2 и продолжить делить частные от деления до тех пор, пока частное не станет равным 0,

• значения получившихся остатков, взятые в обратной последовательности образуют искомое двоичное число.

Пример: 19₍₁₀₎ = 10011₍₂₎

Для перевода дробной части надо умножить ее на 2. Целая часть произведения будет первой цифрой числа в двоичной системе. Затем дробную часть у полученного результата вновь умножают на 2 и т.д.

Пример: 0,73 ₍₁₀₎ = 0,1011₍₂₎

0,73 * 2 = 1,46 целая часть (1)

0,46 * 2 = 0,92 (0)

0,92 * 2 = 1,84 (1)

0,84 * 2 = 1,68 (1)

Правила выполнения простейших арифметических действий.

Сложение в двоичной системе счисления осуществляется по правилам

0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 2₁₀ = 10₂ (единица идет в старший разряд).

Таблица вычитания в двоичной системе счисления имеет вид

0 – 0 = 0, 1 – 0 = 1, 1 – 1 = 0, 0 – 1 = 10 – 1 = 1 (единицу забираем у старшего разряда).

Таблица умножения в двоичной системе счисления имеет вид

0 x 0 = 0, 0 x 1 = 0, 1 x 0 = 0, 1 x 1 = 1.

Таблица деления в двоичной системе счисления имеет вид

0 : 0 = не определено, 1 : 0 = не определено, 0 : 1 = 0, 1 : 1 = 1.

Пример. Сложить двоичные числа 1101₂ и 11011₂.

Запишем слагаемые в столбик и пронумеруем разряды, присвоив младшему разряду номер 1:

 5 4 3 2 1     1 1 0 1 + 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0

Процесс образования результата по разрядам:

1. разряд 1 формируется следующим образом: 1 + 1 = 10; 0 остается в разряде 1, 1 переносится во второй разряд;

2. разряд 2 формируется следующим образом: 0 + 1 + 1 = 10, где вторая 1 - единица переноса; 0 остается в разряде 2, 1 переносится в третий разряд;

3. третий разряд формируется следующим образом: 1 + 0 + 1 = 10, где вторая 1 - единица переноса; 0 остается в разряде 3, 1 переносится в разряд 4;

4. четвертый разряд формируется следующим образом: 1 + 1 + 1 = 11, где третья 1 - единица переноса; 1 остается в разряде 4, 1 переносится в пятый разряд;

5. пятый разряд формируется следующим образом: 1 + 1 = 10; где вторая 1 - единица переноса; 0 остается в разряде 5, 1 переносится в шестой разряд.

Проверим результат. Для этого определим полные значения слагаемых и результата: 1101₂ = 1*2³ +1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 8 + 4 + 1 = 13; 11011₂ = 1*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16 + 8 + 2 + 1 = 27; 101000₂ = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 0*2¹ + 0*2¹ = 32 + 8 = 40. Поскольку 13 + 27 = 40, двоичное сложение выполнено верно.