Варианты заданий:

1 вариант	, , , , т.
2 вариант	, , , , т.
3 вариант	, , , , т.
4 вариант	, , , , т.
5 вариант	, , , , т.
6 вариант	, , , , т.
7 вариант	, , , , т.
8 вариант	, , , , т.
9 вариант	, , , , т.
10 вариант	, , , , т.
11 вариант	, , , , т.
12 вариант	, , , , т.
13 вариант	, , , , т.
14 вариант	, , , , т.
15 вариант	, , , , т.

Лабораторная работа №8

Цель: применение методов математической физики (уравнение колебания струны, уравнение теплопроводности).

Задача 1. Исследовать процесс колебания жестко закрепленной струны. Выделить мажоранту и миноранту полученного ряда.

Решение. Уравнение колебания струны.

Рассматривается уравнение колебания жестко закреплённой струны в области , , (8.1)

при граничных условиях , (8.2)

и начальных условиях , . (8.3)

Здесь – постоянная скорость распространения звука в среде, – отклонение струны от положения равновесия в точке в момент времени , и – заданные начальное отклонение и начальная скорость отклонения струны. Для решения рекомендуется применять метод разделения переменных

Метод разделения переменных. Точное решение исходной задачи.

Для получения точного решения исходной задачи (8.1)-(8.3) применим метод разделения переменных Фурье. Будем искать решение в виде:

.

Подставляя в уравнение (8.1), получим

.

Разделим это равенство на .

Тогда . (8.4)

Следует отметить, что функция, стоящая в левой части равенства зависит от , а в правой – от . Следовательно, эти величины есть константа. Обозначим эту константу .

Рассмотрим правую часть равенства (8.4).

Уравнение при условиях , имеет решение , , .

Тогда из левой части (8.4) следует, что и

.

Используя линейность исходной задачи (линейная комбинация решений есть решение) отсюда получаем:

. (8.5)

Подставляя начальные условия (8.3), находим уравнения для определения и :

,

Тем самым показано, что искомые и выражаются через коэффициенты Фурье разложений функций и по синусам (т.е. функции ) и продолжаются нечетным образом на отрезок и получающиеся функции продолжаются периодическим образом с периодом 2).

Искомые и определяются по следующим формулам:

,

. (8.6)

Итак, ряд (8.5), где и определены (8.6), представляет точное решение задачи (8.1)-(8.3). Скорость сходимости этого ряда, а, следовательно, и применимость указанных формул для численных расчетов решения определяется гладкостью начальных функций и .

Задача 2. Исследовать изменение температуры в точке в момент времени в рамках уравнения теплопроводности. Выделить мажоранту и миноранту полученного ряда.

Решение: Уравнение теплопроводности.

Рассмотрим уравнение теплопроводности

в области , , (8.7)

при граничных условиях , (8.8)

и начальных условиях (8.9)

Здесь – постоянный коэффициент теплопроводности, – искомая температура в точке в момент времени , – заданная температура в начальный момент времени.

Разбор одного варианта. Рассмотрим решение уравнения колебания струны

в области , , (8.10)

при граничных условиях , (8.11)

и начальных условиях , , (8.12)

где . (8.13)

Решения рекомендуется получить в виде ряда Фурье.

Аналитическое решение в виде ряда Фурье.

,

где

.

Подробнее:

Видим, что коэффициенты Фурье медленно убывают. Мажорантой этого ряда является ряд , который медленно сходится.

Рекомендации. Мажоранта (объявлять большим) и миноранта (объявлять меньшим) - две функции, значения первой из которых не меньше, а второй не больше соответствующих значений данной функции (для всех рассматриваемых значений независимого переменного).

Например, функция  есть для  мажоранта функции  , так как  для всех значений  .

Для функций, представимых степенным рядом, термину "мажоранта" придают часто более специальный смысл, понимая под мажорантой сумму степенного ряда с положительными коэффициентами, которые не меньше абсолютных величин соответствующих коэффициентов данного ряда.

Если - мажоранта (в специальном смысле) функции  , то пишут: . Например,  , так как

, .

В этом (специальном) смысле   уже не является мажорантой функции .