3. Задание плоскости на чертеже

Три точки, не лежащие на одной прямой, задают плоскость в пространстве. Следовательно, на проекциях получим следующие изображения:

0. Плоскость общего положения (рис. 12)

Рис. 12

Плоскости частного положения

Плоскости, перпендикулярные плоскости проекций (проецирующие плоскости) (рис. 13)

Рис. 13

Плоскости, параллельные плоскости проекций (плоскости уровня) (рис. 14)

(такие плоскости перпендикулярны другой плоскости проекций)

Горизонтальная плоскость Фронтальная плоскость

(плоскость уровня) (плоскость уровня)

∆ ABC || π₁ ∆ ABC || π₂

Рис. 14

Отметим проецирующие свойства таких плоскостей - на перпендикулярную к ним плоскость проекций такие плоскости проецируются в одну прямую.

Построение проекций точек и прямых, принадлежащих плоскости

M′′ – задана

M′ принадлежит а′ ≡ b′

N′ – задана. Тогда – множество решений

(Надо доп. условия)

Рис. 15

В общем случае для построения проекции точки, принадлежащей плоскости общего положения, надо воспользоваться проекциями прямой, принадлежащей заданной плоскости и проходящей через точку (используем свойство принадлежности).

Линии частного положения в плоскости

Г оризонталь h плоскости принадлежит плоскости и параллельна плоскости π₁ (рис. 16).

Пл. (a || b) общего положения Пл. ∆ ABC _┴ π₁ Пл. ∆ ABC _┴ π₂,

в этом случае h _┴ π₂

Рис. 16

Ф ронталь f плоскости принадлежит плоскости и параллельна плоскости π₂ (рис. 17).

Пл. ∆ ABC – общ. положения Пл. ∆ ABC _┴ π₁, Пл. (a || b) _┴ π₂

в этом случае f _┴ π₁

Рис. 17

4. Взаимное положение прямой и плоскости, двух плоскостей Параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости

Построение на чертеже параллельных прямой и плоскости основано на использовании: 1) признака параллельности прямой и плоскости и 2) свойства прямоугольного проецирования о проекции параллельных прямых (рис. 18)

Задача

Определить, параллельна ли прямая m плоскости ∆ АВС

Задача

Через заданную точку K построить плоскость, параллельную заданной прямой m и перпендикулярную плоскости π_1.

m || b

Рис. 18

Построение на чертеже перпендикулярных прямой и плоскости основано на использовании: 1) признака перпендикулярности прямой и плоскости и 2) теоремы о проецировании прямого угла (используем горизонталь и фронталь) (рис. 19).

n (n′ n″) – нормаль плоскости

Рис. 19

Параллельность и перпендикулярность двух плоскостей

Построение на чертеже параллельных плоскостей основано на использовании: 1) признака параллельности двух плоскостей и 2) свойства прямоугольного проецирования о проекции параллельных прямых (рис. 20).

Построить проекции произвольного ΔABC с вершиной в точке А, параллельного заданной плоскости.

a || AB Плоскости параллельны и

b || AC перпендикулярны плоскости π₂

Рис. 20

Построение на чертеже перпендикулярных плоскостей основано на использовании: 1) признака перпендикулярности двух плоскостей и 2) теоремы о проецировании прямого угла (в этом случае следует использовать горизонталь и фронталь плоскости).

Рассмотрим пример (рис. 21). Через прямую a провести плоскость, перпендикулярную к плоскости треугольника ABC.

A 1 – горизонталь; AB – фронталь

n _┴ ∆ABC, т.к. n′ _┴ A′1′; n″ _┴ A″B″;

m″ || n″; m′ || n′;

m _┴ ∆ABC; пл. (a∩m) _┴ ∆ABC

K – произвольная точка.

Рис. 21