Частные случаи
С
оосные
поверхности вращения пересекаются по
окружности (рис. 71).
Рис. 71
Ц
илиндрические
поверхности с параллельными образующими
пересекаются по прямым (образующим)
(рис. 72).
Рис. 72
К
онические
поверхности с общей вершиной S
пересекаются по прямым (образующим)
(рис. 73).
Рис. 73
Теорема Монжа
Две поверхности 2-го порядка, вписанные или описанные около третьей поверхности второго порядка, пересекаются по двум плоским кривым второго порядка. Эти плоские кривые проецируются в отрезки прямых линий на общую плоскость симметрии пересекающихся поверхностей и пересекаются в точке, которая является проекцией точек пересечения линий касания (рис. 74).
Рис.
74
10. Развертки поверхностей
Развертки поверхностей бывают точные (развертки многогранников), приближенные (развертки цилиндрической (рис. 75) и конической (рис. 76) поверхностей) и условные (для всех неразвертываемых поверхностей).
Рис. 75 Рис. 76
П
рактически
развертки развертываемых поверхностей
получают, заменяя поверхности гранными
фигурами: для цилиндрической поверхности
делают развертку вписанной (или
описанной) в поверхность призмы; для
конической - пирамиды (рис. 77). При этом
получают приближенные развертки с
необходимой точностью, увеличивая
число граней призмы или пирамиды.
Рис. 77
Гранные поверхности развертывают, разрезая по некоторым ребрам и совмещая грани с плоскостью. При этом определяют истинную величину ребер и граней фигуры.
Неразвертываемых поверхностей большинство.
Можно заменить неразвертываемую поверхность набором развертываемых поверхностей и получить условную развертку заданной поверхности (рис. 78).
Рис. 78
М
ожно
аппроксимировать (приближенно заменить)
любую поверхность гранной поверхностью
с любой точностью. В общем случае
поверхность аппроксимируют многогранной
поверхностью, состоящей из треугольников
(способ триангуляции).
На рис. 79
выполнена развертка поверхности
наклонного усеченного конуса способом
триангуляции.
Рис. 79
11. Аксонометрические проекции
Аксонометрия позволяет с использованием способа двух изображений получить наглядное изображение фигуры (предмета).
Метод прямоугольного проецирования на несколько плоскостей проекций, обладая многими достоинствами, вместе с тем имеет существенный недостаток: изображения не обладают наглядностью.
Для построения наглядных изображений применяют способ аксонометрического проецирования, состоящий в том, что данный предмет вместе с системой трех взаимно перпендикулярных осей координат, к которым он отнесен в пространстве, параллельно проецируется на некоторую плоскость, называемую плоскостью аксонометрических проекций (или картинной плоскостью).
Проекция на этой плоскости называется аксонометрической проекцией.
Основная теорема аксонометрии (теорема К.Польке 1851г.)
Три отрезка прямых произвольной длины, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на прямоугольных координатных осях от начала.
На рис. 80 показана схема проецирования осей координат и отнесенной к ним точки А на плоскость α, принятую за плоскость аксонометрических проекций (картинную). Направление проецирования указано стрелкой s.
Р
Рис. 80
Проекции осей x, y, z – прямые xα, yα, zα, называются аксонометрическими осями. Пространственная координатная ломаная линия ОАx А′А проецируется в плоскую ломаную линию ОαАxαАα′Аα, называемую аксонометрической координатной ломаной.
α - картинная плоскость,
s - направление проецирования,
Аα - аксонометрическая проекция точки A,
Аα'- вторичная проекция точки A.
По направлению проецирования различают:
s ┴ α – прямоугольная аксонометрия,
s не ┴ α – косоугольная аксонометрия.
Аксонометрическую проекцию любой проекции точки A на координатной плоскости называют вторичной проекцией точки А (Аα' – вторичная проекция точки).
На осях x, y, z отложен отрезок е, принимаемый за единицу измерений по этим осям. В общем случае еx, еy, еz не равны е и не равны между собой.
Отношения
называются
коэффициентами (или показателями)
искажения по аксонометрическим осям.
Так как взаимное расположение картинной плоскости α и координатных осей x, y, z, а также направление проецирования могут быть различными, то можно получать множество различных аксонометрических проекций.
Если все три показателя искажений между собой не равны, то проекция называется триметрической; если два показателя искажения равны (например, k=n), а третий отличен от них, то проекция называется диметрической; наконец, если все три показателя равны (k=m=n), то проекция называется изометрической.
В машиностроении часто применяют прямоугольные: изометрическую (k=m=n) и диметрическую (k=m=2n) проекции. Правила построения аксонометрических проекций изложены в ГОСТ 2.317-2011.