1. Сформулювати, записати і довести критерій монотонності функції.

1а. Сформулювати теорему, яка використовується при доведенні необхідності.

1б. Сформулювати теорему, яка використовується при доведенні достатньості.

2. Довести, що при . Яка теорема використовується при доведенні ?

Довести, що при .

3. Сформулювати, записати і довести достатню умову строгої монотонності функції.

3а. Яка теорема використовується при доведенні ?

Умови існування локального екстремуму.

1. Сформулювати необхідні умови існування локального екстремуму.

1а. Навести приклади функцій, для яких ці умови не є достатніми.

2. Сформулювати і записати означення зміни знаку функції в точці .

2а. Навести приклади функцій, які змінюють знак в точці і не змінюють знак в точці .

2б. Чи може розривна функція в точці змінювати знак в цій точці ? Навести приклад.

3. Сформулювати, записати і довести І правило дослідження функції на екстремуми.

3а. Яка теорема використовується при доведенні ?

4. Навести приклад функції, для якої точка є точкою локального максімуму, але умови І^го правила дослідження функції на екстремум не виконуються.

Розкриття неозначеностей. Правила Лопіталя.

1. Сформулювати, записати і довести І правило Лопіталя при .

1а. Які теореми використовуються при доведенні ?

2. Сформулювати, записати і довести І правило при . а. Яка заміна використовується при доведенні ?

б. Які теореми використовуються при доведенні ?

3!. Сформулювати, записати і довести ІІ правило Лопіталя. а. Скільки випадків розглядається при доведенні ?

б. Які теореми використовуються при доведенні ? в. Сформулювати теорему про границю проміжної функції.

4. Сформулювати і записати означення Гейне границі функції в точці.

5. Чи правильне твердження не існує, то і не існує ? Навести приклад.

6. Яке означення використовується при доведенні, що не існує ?

7. Як розкрити неозначеність виду , , , , ?

7а. Яку рівність використовують при розкритті неозначеностей виду , , ?

Асимптоти графіка функції.

1. Сформулювати і записати означення вертикальної, похилої асимптоти графіка функції.

2. Записати, що графік функції не має вертикальної асимптоти.

3. Навести приклад функції, графік якої не має вертикальної асимптоти.

4. Чи може неперервна на області визначення функція мати вертикальну асимптоту , де належить області визначення ? 5. Записати як знаходяться коефіцієнти k і b похилої асимптоти.

6. Записати, в якому випадку графік функції не буде мати похилих асимптот.

7. Навести приклад функції, графік якої не має похилих асимптот.

8. Чи може мати похилі асимптоти функція, область визначення якої обмежена ?

9. Чи може функція мати три похилих асимптоти ?

Похідні вищих порядків.

!Похідні вищих порядків. Приклади. Формула Лейбніца.

1. Сформулювати означення похідної n^го порядку. 2. Чому рівна похідна n^го порядку від функцій , ?

3. Сформулювати, записати і довести формулу Лейбніца. 3а. Чому рівне число комбінацій із n по m ?

3б. Які рівності використовуються при доведенні формули Лейбніца ?

Диференціали вищих порядків.

1. Сформулювати означення диференціала n^го порядку. Навести приклад.

2. Чи співпадає форма запису диференціала n^го порядку від функції для незалежної і залежної змінної ?

Формула Тейлора для многочлена і функції.

1. Записати формулу Тейлора для многочлена.

2. Сформулювати і записати означення многочлена Тейлора для функції і залишкового члена.

3. Сформулювати, записати і довести формулу Тейлора для функції із залишковим членом у формі Лагранжа і Коші.

3а. Записати залишкові члени формули Тейлора у формі Лагранжа і Коші.

3б. Які допоміжні функції використовуються для доведення формули Тейлора?

3в. Які допоміжні функції використовуються для знаходження відповідно залишкових членів формули Тейлора у формі Лагранжа і Коші ?

3г. Яка теорема використовується при виведенні формули Тейлора ?

4. Сформулювати, записати і довести формулу Тейлора із залишковим членом у формі Пеано.

4а. Яке означення використовується при доведенні ?

5. Яке твердження випливає з формули Тейлора при ?

6. Записати формулу Маклорена із залишковим членом у формі Лагранжа для функцій , , , , , shx, chx.

7. Чи може залишковий член формули Маклорена у формі Лагранжа для функції бути непарною функцією відносно змінної ? Чому ?

8. Записати формулу Маклорена для .

9. Яким є многочлен Маклорена для парної (непарної) функції ? Чому ?

Сформулювати, записати і довестиІІ^ге правило дослідження функції на екстремум.

1. Яке твердження і означення використовується при доведенні ІІ правила дослідження функції на екстремум ?

2. Сформулювати і записати наслідок до ІІ^го правила дослідження функції на екстремум.

3. Як знайти максимальне і мінімальне значення функції, неперервної на сегменті і диференційованої на відповідному інтервалі, за винятком скінченого числа точок ?

Опуклість і вгнутість графіка функції. Точки перегину.

1. Сформулювати і записати означення опуклої догори (донизу) кривої в точці .

2. Сформулювати означення кривої, опуклої догори (донизу) на інтервалі .

3. Сформулювати і записати означення точки перегину графіка функції.

4. Сформулювати, записати і довести достатню умову опуклості догори (донизу) графіка функції в точці.

4а. Яка формула і означення використовуються при доведенні цієї теореми ?

5. Сформулювати необхідні умови перегину графіка функції в точці.

6. Навести приклад функції, для якої в точці похідна другого порядку не існує, але ця точка є точкою перегину графіка функції.

7. Навести приклад функції, для якої похідна другого порядку в точці = 0, але ця точка не є точкою перегину графіка функції.

8. Сформулювати, записати і довести достатню умову точки перегину графіка функції.

8а. Яка теорема використовується при доведенні ?

8б. Чим відрізняється достатня умова точок перегину від І^го правила дослідження функції на екстремум ?

8в. Чи буде функція, яка задовольняє достатнім умовам точок перегину графіка функції диференційованою в деякому інтервалі ?