Властивості збіжних послідовностей. Теореми про порівняння членів послідовностей за їх границями і границь послідовностей за їх членами. Теорема про границю проміжної послідовності.
1. Сформулювати, записати і довести теорему про порівняння членів послідовностей за їх границями.
1а. Сформулювати наслідок до цієї теореми.
2. Сформулювати, записати і довести теорему про порівняння границь послідовностей за їх членами.
2а. Яка теорема використовується при доведенні цієї теореми ?
3. Сформулювати, записати і довести теорему про границю проміжної послідовності.
3а. Навести приклад застосування цієї теореми для знаходження границь.
Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
Сформулювати і записати означення нескінченно малої (великої) послідовності.
Сформулювати і записати означення додатньо (від´ємно) нескінченно великої послідовності.
Сформулювати , записати і довести критерій нескінченно малої послідовності.
4. Сформулювати, записати і довести теорему про структуру збіжної послідовності.
5. Сформулювати, записати і довести теорему про алгебраїчну суму нескінченно малих послідовностей.
5а. Які нерівності використовувались при доведенні цієї теореми ?
6. Навести приклад нескінченно малих послідовностей, сума яких не є нескінченно малою.
7. Сформулювати, записати і довести теорему про добуток нескінченно малої послідовності на обмежену.
7а. Сформулювати і довести наслідки до цієї теореми.
8. Сформулювати, записати і довести теорему про зв’язок між нескінченно малими і нескінченно великими послідовностями.
8а. Чи могла в цій теоремі нескінченно мала послідовність бути нульовою ?
9. Навести приклад і довести, що послідовність нескінченно велика.
Теорема про арифметичні операції над границями послідовностей.
1. Сформулювати, записати і довести теорему про границю +, –, , : послідовностей.
1а. Які теореми і наслідок використовуються при доведенні цієї теореми ?
2. Якщо послідовність збіжна, а - розбіжна, то чи будуть збіжними послідовності:
а)
;
б)
.
!Монотонні послідовності. Теореми про границі монотонних послідовностей.
1. Сформулювати і записати означення строго зростаючої, спадної, неспадної, незростаючої послідовностей.
2. Сформулювати, записати і довести теорему про границю монотонної послідовності.
2а. Яке означення використовуюється при доведенні цієї теореми ?
2б. Якщо послідовність незростаюча і необмежена знизу, то чому рівна її границя ?
!Число е.
1. Яка теорема використовується
для знаходження границі
?
2. Яка послідовність розглядається і яка нерівність використовується для знаходження цієї границі ?
Принцип стяжних сегментів. Теорема Кантора про стяжні сегменти.
1. Сформулювати і записати означення послідовності стяжних сегментів.
2. Сформулювати, записати і довести теорему Кантора про стяжні сегменти.
2а. Яка теорема використовується при доведенні теореми Кантора ? Який метод використовується при доведенні ?
2б. Чи може послідовність стяжних сегментів мати дві різні спільні точки ?
Часткова границя послідовності. Критерій часткової границі. Нижні і верхні границі послідовності.