Теорема про неперервність складної функції.

1. Сформулювати і записати означення складної функції. Навести приклади.

2. Сформулювати, записати і довести теорему про неперервність складної функції.

3. Яке означення неперервності функції використовується при доведенні цієї теореми ?

4. Навести приклад неперервної складної функції.

Властивості неперервних функцій, заданих на сегменті.

1. Сформулювати, записати і довести теорему₁ Больцано–Коші.

а. Яке означення неперервності і теореми використовуються при доведенні цієї теореми ?

3. Сформулювати, записати і довести теорему 2 Больцано­–Коші.

3а. Яку функцію і теореми використовують при доведенні цієї теореми ?

4. Сформулювати, записати і довести теорему 1 Вейєрштраса.

4а. Яким методом доводиться ця теорема ? 4б. Яке означення використовується при доведенні цієї теореми ?

4в. Яка теорема і наслідок використовується при доведенні?

5. Сформулювати, записати і довести теорему 2 Вейєрштраса.

5а. Яке означення і теореми використовуються при доведенні цієї теореми ?

6. Чи кожна функція, неперервна на інтервалі, приймає в деяких точках цього інтервалу найбільше і найменше

5. значення ?

7. Сформулювати, записати і довести наслідок про область значень неперервної на сегменті функції.

7а. Які теореми використовуються при доведенні цього наслідку ?

8. Сформулювати, записати і довести теорему про неперервність оберненої функції.

8а. Яке твердження використовується при доведенні цієї теореми ?

8б. Яким методом доводиться існування і монотонність оберненої функції ?

8в. Скільки випадків розглядається при доведенні неперервності оберненої функції і яке означення використовується ?

8в. Якими є образи точок розриву функції для оберненої функції і за допомогою якої теореми і означення це

встановлюється?

9. Сформулювати і записати наслідки про неперервність оберненої функції.

10. На яких проміжках і чому повинні бути означені функції , , , , щоб для них

існували обернені функції ? 10а. Накреслити графіки цих обернених функцій.

11. Сформулювати і записати означення оберненої функції.

Рівномірна неперервність функції на множині. Теорема Кантора.

1. Сформулювати і записати означення рівномірно неперервної функції на множині і нерівномірно неперервної.

2. Навести приклад рівномірно неперервної функції на множині, яка не є неперервною на цій множині.

3. Навести приклад функції, яка не є рівномірно неперервною на множині R.

4. Сформулювати і записати теорему Кантора про рівномірну неперервність.

4а. Яким методом доводиться ця теорема ? 4б. Які теореми використовуються при доведенні цієї теореми ?

4в. Які означення використовуються при доведенні цієї теореми ?

5. Чи буде функція, неперервна на об’єднанні двох сегментів, рівномірно неперервною на цьому об’єднанні ?

Похідні і диференціали першого порядку.

Означення похідної, її геометричний та механічний зміст. Рівняння дотичної і нормалі до кривої.

1. Сформулювати і записати задачи, які приводять до поняття похідної. Накреслити відповідні малюнки.

2. Сформулювати і записати означення похідноїної функції в точці, диференційовності функції в точці.

2_а). Чи може функція мати похідну в ізольованій точці області визначення ?

3. Навести приклади функцій, які не мають похідної в даній точці.

4. Сформулювати геометричний, механічний зміст похідної.

5. Записати рівняння дотичної і нормалі до кривої в даній точці.

Зв’язок між неперервністю і диференційовністю функції.

1. Сформулювати, записати і довести необхідну умову диференційованості.

а). Навести приклад розривної в даній точці функції, яка є диференційованою в цій точці.

б). Яке означення і теорема використовуються при доведенні необхідної умови диференційованості.

3. Яка теорема використовується при доведенні, що функція

неперервна в точці ?

3а. Яке означення використовується при доведенні, що не існує ?