Границі монотонних функцій. Теореми про границі монотонних функцій.

1. Сформулювати і записати означення монотонних функцій.

2. Сформулювати і записати означення необмежених зверху (знизу) функцій, навести відповідні приклади.

3. Сформулювати, записати і довести теорему про границі неспадних функцій.

а. Скільки випадків розглядається при доведенні? б. Які означення і теорема використовуються при доведенні ?

в. Сформулювати і записати означення точної верхньої (нижньої) межі множини.

г. Записати означення для , .

4. Сформулювати, записати і довести теорему про границю незростаючої функції.

а. Яку теорему і рівності використовують для доведення цієї теореми ?

Неперервні і рівномірно неперервні функції. Різні означення неперервності функцій і їх рівносильність.

1. Сформулювати і записати означення неперервності функції в точці, ізольованої точки множини.

а) Чим відрізняються означення неперервності функції в точці від означення границі функції в цій точці ?

2. Навести приклад функції, яка має границю в точці, але не є неперервною в цій точці.

3. Сформулювати і записати означення Коші і Гейне неперервності функції в точці.

3а. Сформулювати і записати, використовуючи означення Коші, що функція не є неперервною в точці.

3 _б. Чому означення Коші рівносильне означенню Гейне ?

4. Навести приклад функції, яка неперервна в точці, але не має границі в цій точці.

5. Сформулювати, записати і довести теорему про неперервність суми, різниці добутку і частки функцій.

6. Сформулювати, записати і довести наслідок про знаходення границі

а) Яка теорема і еквівалентні нескінченно малі використовується при доведенні?

7. Сформулювати, записати і довести наслідок про знаходення границі

а) Який наслідок і означення використовуються при доведенні?

!Класифікація точок розриву. Теореми про точки розриву монотонних функцій.

1. Сформулювати і записати означення неперервності функції в точці зліва (справа). Навести приклади.

2. 2. Сформулювати, записати і довести критерій неперервності функції в точці.

3. а) Яка теорема використовується при доведенні?

3. Сформулювати і записати означення точок розриву Іго і іІго роду.

4. Навести приклад функції, точки розриву якої не є точками розриву І^го і ІІ^го роду.

5. Навести приклад функції, яка не є неперервною ні зліва, ні справа в даній точці.

6. Навести приклад функції, яка має нескінченне число точок розриву ІІ^го роду.

4. 7. Яке означення використовується для доведення, що функція не має границі в точці ?

8. Сформулювати, записати і довести теорему про характер точок розриву монотонної на сегменті

функції ? а. Чи може монотонна на сегменті функція мати точки розриву ІІ^го роду ?

_б. Яка теорема використовується при доведенні теореми про характер точок розриву монотонної на сегменті

функції ? в. Які означення використовуються при доведенні цієї теореми ?

9. Сформулювати і записати означення проміжку.

10. Сформулювати, записати і довести наслідок про характер точок розриву монотонної на проміжку функції.

а. Яка теорема і означення використовується при доведенні?