8

Контрольні питання з матаналізу і к. 1-с. (стац). Вступ до математичного аналізу. Елементи теорії множин. Основні поняття теорії множин і операції над ними.

1. Які поняття теорії множин не означаються ?

2. Сформулювати і записати означення підмножини, рівності множин.

3. Сформулювати і записати означення операцій об’єднання, перетину, різниці і доповнення множин.

4. Записати рівності, які мають місце для операції об’єднання, перетину, доповнення. Довести ці рівності.

5. Записати і довести дистрибутивні закони і закони де Моргана. Сформулювати і записати принцип математичної індукції. Прямий добуток множин. Бінарні відношення.

1. Сформулювати і записати означення прямого добутку двох, n множин.

2. Навести приклади прямого добутку трьох множин.

3. Чи правильна рівність А×В=В×А, тобто чи є прямий добуток комутативним ? Навести приклад.

4. Множина А складається з n елементів, а В - з m елементів. Скільки елементів є в множині А×В ?

5. Сформулювати і записати означення бінарного відношення.

6. Навести приклади бінарних відношень.

Поняття функції, графіка функції, складної функції, оберненої функції.

1. Сформулювати і записати означення функції, прообразу елемента, множини визначення і множини допустимих значень функції, дійсної функції, дійсної функції від однієї, n-дійсних змінних.

1_а. Чи може коло на площині бути графіком функції ?

2. Сформулювати і записати означення графіка функції.

3. Сформулювати означення складної функції або суперпозиції функцій.

4. Навести приклади суперпозиції функцій.

5. Чи є суперпозиція функцій комутативною ?

6. Нехай складна функція задана на множині X. Чи може область значень функції

а) не співпадати з областю визначення функції ?

б) не мати спільних точок з областю визначення функції ?

7. Сформулювати і записати означення бієкції, оберненої функції.

8. Як розташовані графіки функцій і ?

9. Навести приклади функцій, для яких існують обернені і вказати області визначення і області значень цих функцій.

10. Накреслити графіки обернених тригонометричних функцій.

Властивості функцій.

1. Сформулювати і записати означення незростаючої (неспадної), строго спадної (зростаючої) функції.

2. Сформулювати і записати означення парної, непарної функції, ні парної, ні непарної функції.

2а. Яку властивість мають графіки парної, непарної, ні парної, ні непарної функції ?

3. Навести приклад функції, яка не є ні парною, ні непарною.

4. Сформулювати, записати і довести теорему про представлення функції у вигляді суми двох функцій.

4_а) Як записуються ці функції? Яким методом доводиться єдиність представлення?

5. Сформулювати і записати означення періодичної функції, неперіодичної функції.

6.Навести приклади періодичних функцій і накреслити їх графіки.

7. Чи буде періодичною функція, графік якої зображено на малюнку ?

Y

-2 -1 0 1 X

8. Чи є функція періодичною? Накреслити її графік. 9. Знайти період функції Діріхле?

Щільність множини дійсних чисел.

1. Сформулювати означення раціонального, ірраціонального, дійсного числа.

2. Сформулювати, записати і довести теорему про щільність множини раціональних чисел.

3. Сформулювати і записати теорему про щільність множини раціональних чисел.

Межі числових множин.

1. Сформулювати і записати означення обмеженої (необмеженої) множини.

2. Сформулювати і записати означення обмеженої (необмеженої) зверху (знизу) множини.

3. Сформулювати і записати означення точної верхньої (нижньої) межі множини.

4. Навести приклад множини, яка не є обмеженою.

5. Сформулювати, записати і довести теорему про існування і єдиність точної верхньої (нижньої) межі множини.

5а. Чи може множина мати дві різні точні верхні (нижні) межі ?

5_б. Який розріз використовується при доведенні ? Яка теорема використовується при доведенні цієї теореми ?

6. Довести і .

7. Сформулювати, записати і довести теорему про точні межі множини і її підмножини.

Границя послідовності.

Означення послідовності, границі послідовності. Теореми про єдиність границі і обмеженість збіжної послідовності.

1. Сформулювати і записати означення послідовності. Чи дорівнює множина всіх членів послідовності послідовності? Чи може послідовність мати два загальних члена ?

2. Сформулювати і записати означення границі послідовності.

3. Сформулювати і записати геометричне означення границі послідовності.

4. Навести приклад послідовності, яка не має границі.

5. Сформулювати, записати і довести теорему про єдиність границі послідовності.

5_а). Яким методом доводиться теорема про єдиність границі послідовності ?

5_б). Яке одержується протиріччя при доведенні цієї теореми методом від супротивного ?

6 Сформулювати і записати означення обмеженої (необмеженої) зверху (знизу) послідовності.

7. Сформулювати, записати і довести теорему про обмеженість збіжної послідовності.

7_а. Яке означення і нерівність використовуються при доведенні цієї теореми ?

7_б. Чи вірне обернене твердження до цієї теореми ?