3. Дифференциальные уравнения термодинамики

Запишем внутреннюю энергию U и энтальпию H системы как функции переменных и соответственно. Тогда полные дифференциалы этих функций запишутся в виде

,

где

Частные производные при дифференциалах и находятся из того факта, что дифференциал энтропии является полным. Имеем из уравнений Гиббса:

Из равенства перекрестных производных для полного дифференциала получаем

Вычисление частных производных с учетом независимости порядка дифференцирования для непрерывных функций приводит к следующему результату:

Полные дифференциалы внутренней энергии, энтальпии и энтропии принимают вид

Используя полноту этих дифференциалов, т.е. равенство перекрестных производных, находим зависимость теплоемкостей от объема и давления соответственно:

.

Функции, частные производные от которых пропорциональны теплоемкостям системы, называются калорическими функциями, а уравнения – калорическими уравнениями состояния. В частности, калорическими функциями являются внутренняя энергия U(T,V) и энтальпия H(T, p).

Дифференциальные соотношения для теплоемкостей

Из определения теплоемкости процесса имеем

или, используя соотношения Максвелла:

С другой стороны

т.е. для теплоемкости какого-либо термодинамического процесса имеем

Рассматривая изобарный процесс , находим разность теплоемкостей при постоянном давлении и при постоянном объеме:

т.е. теплоемкости идеального газа не зависят от давления и объема и могут зависеть только от температуры.

Из этих формул следует соотношение Майера для разности теплоемкостей идеального газа:

Лекция 7

4. Основные термодинамические процессы

Под процессом в термодинамике понимается любое изменение состояния термодинамической системы, которое происходит из-за обмена энергией между системой и средой.

4.1. Политропный процесс

Расчет процессов базируется на первом и втором началах термодинамики, записанных в дифференциальной форме для одного килограмма термодинамической системы:

,

.

Входящие в эти выражения дифференциалы вычисляются следующим образом:

Кроме того, для идеального газа имеем

На практике чаще всего имеют дело с термодинамическими процессами, в течение которых на каждых малых участках процесса можно с достаточной точностью считать постоянным соотношение между количествами работы и теплоты. Такие процессы называют политропными. Для них

Поскольку для идеального газа , уравнение политропного процесса может быть записано в виде

,

т.е. политропный процесс можно определить как процесс с постоянной теплоемкостью, которая может принимать любые значения, .

Соотношения между параметрами в политропном процессе можно получить на основании уравнений политропного процесса в переменных . Используем для этого две формы записи I начала термодинамики:

Перенеся слагаемые с в левые части этих выражений и разделив второе уравнение на первое, получим

.

Комплекс (постоянный в случае политропного процесса)

носит название показателя политропы. Имеем, таким образом

.

Разделяя переменные в этом уравнении и интегрируя, получаем связь между давлением и объемом в политропном процессе:

.

Получим уравнение политропного процесса в переменных из уравнения для второго закона термодинамики:

,

Откуда .

Обычно на практике политропный процесс задается не значением теплоемкости c, а значением показателя политропы n, тогда теплоемкость процесса вычисляется как

или ,

где величина определена ранее.