7.4. Закон обращения геометрического воздействия

Для более детального выяснения механизма перехода потока через скорость звука рассмотрим совместно уравнения I начала термодинамики для потока, уравнение неразрывности и уравнение адиабатического процесса течения, которое в данном случае удобнее представить в дифференциальной форме при принятых выше допущениях. Имеем

Из первого и третьего уравнений находим

Подставив это отношение в уравнение неразрывности и учтя, что , где a – скорость звука, получаем

Отношение скорости потока в данном сечении канала к местной скорости звука называется числом Маха,

.

С учетом этого определения получаем выражение

известное под названием закона обращения геометрического воздействия.

Закон обращения геометрического воздействия позволяет выяснить общую конфигурацию сопел, обеспечивающую полное расширение газа до давления среды за соплом, и, как следствие этого, получить максимально возможную скорость на выходе. Отметим прежде всего, что площадь поперечного сечения сопла f и скорость потока w положительны, дифференциал dw положителен для сопел по определению. Тогда из закона обращения геометрического воздействия следует, что знак df т.е. расширение или сужение поперечного сечения сопла, будет определяться соотношением между скоростью потока и местной скоростью звука. Рассмотрим три случая.

1. Скорость потока на входе меньше местной скорости звука, т.е. w<a, Ma<1, Ma²–1<0, откуда следует df < 0, т.е. для ускорения дозвукового потока сопло должно быть суживающимся.

2. Скорость потока на входе равна местной скорости звука, т.е. w=a, Ma=1, Ma²–1=0, откуда следует df = 0, т.е. скорость потока становится равной местной скорости звука. Таким образом, скорость потока становится равной местной скорости звука в минимальном сечении сопла.

3. Скорость потока на входе больше местной скорости звука, т.е. w>a. Тогда Ma>1, Ma²–1>0, откуда следует df > 0, т.е. для ускорения сверхзвукового потока сопло должно быть расширяющимся.

Все эти случаи показаны на рис.7.3.

С опло, позволяющее ускорить дозвуковой поток до сверхзвуковых скоростей, должно, таким образом, состоять из двух участков – суживающегося, где ускорение происходит до местной скорости звука, и расширяющегося насадка, где поток приобретает сверхзвуковую скорость. Такое комбинированное сопло было предложено французским инженером П.Лавалем и носит его имя. Конфигурация сопла Лаваля приведена на рис.7.4.

Особенности расчета сопел

Выбор типа сопла, т.е. его конфигурации, будет определяться сравнением заданного отношения давлений β с критическим отношением давлений β_кр. При этом возможны три случая:

1. Заданное отношение давлений лежит в интервале . Тогда следует выбирать сужающееся сопло; скорость на выходе не превышает скорости звука. Минимальное сечение совпадает с выходным сечением.

2. Заданное отношение давлений лежит в интервале . Тогда следует выбирать сопло Лаваля (комбинированное сопло); расход газа (пара) следует вычислять по определению.

В этих случаях скорость, расход и температура в выходном сечении сопла вычисляются одинаково:

.

3. Заданное отношение давлений лежит в интервале , однако между средами с давлениями p₁ и p₂ установлено суживающееся сопло. В этом случае скорость потока на выходе будет равна скорости звука

Массовый расход в данном случае является максимальным и вычисляется по формуле

Давление газа на выходе в этом случае определится соотношением

Снижение давления в потоке от давления на срезе сопла p_2кр до давления среды p₂ будет происходить вне сопла необратимым образом, причем этот процесс будет сопровождаться образованием скачков уплотнения и ударных волн. Процесс течения для рассмотренных трех случаев показан в диаграмме T – s на рис.7.5.

Учет потерь на трение в соплах

К ак уже было сказано выше, реальные процессы течения газов (паров) в каналах всегда сопровождаются необратимыми процессами вязкого трения, связанными с неоднородностью поля скоростей в основном в сравнительно тонком пограничном слое вблизи стенок каналов. Учет этих потерь производится введением эмпирического коэффициента φ, называемого скоростным коэффициентом сопла и определяемого отношением действительной (т.е. измеренной приборами) скорости на выходе из сопла w_2д к теоретически вычисленной скорости w₂

Значение скоростного коэффициента φ для сопел современных паровых и газовых турбин составляет 0.92…0.98. Действительная скорость истечения определится тогда произведением

или для идеальных газов

Кроме скоростного коэффициента сопла φ, в практике расчета течения газов (паров) в турбинных и ракетных соплах используется также так называемый коэффициент потерь энергии ζ, определяемый отношением уменьшения кинетической энергии потока на выходе из сопла, связанного с потерями на трение, к теоретически вычисленному значению кинетической энергии. Тогда по определению имеем

С другой стороны

что при известном ζ (или φ) позволяет найти энтальпию или температуру пара (газа) в выходном сечении сопла с учетом потерь на трение:

.

Качественно процесс течения в адиабатическом сопле с учетом трения в диаграмме T – s показан на рис.7.6.

Лекция 16