Контрольные вопросы

1. Запись основных математических функций в Excel

2. Определение абсолютной к относительной погрешности.

3. Основные правила вычисления абсолютной и относительной погреш­ностей.

Отчет должен содержать:

1. Распечатку листа MS Excel, с выполненным Заданием 4 в соответствии с индивидуальным вариантом (приложение – таблица 3.1).

2. Выполненное вручную Задание 5.

Лабораторная работа № 2 решение систем линейных алгебраических уравнений

Цель работы: приобретение навыков решения систем линейных алгебраических уравнений и выполнение действий над матрицами средствами пакета Ms Excel.

В связи с возрастанием роли математических методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных ЭВМ большое значение приобрели численные методы.

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

(1)

Здесь x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно.

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c₁⁽¹⁾, c₂⁽¹⁾, …, c_n⁽¹⁾ и c₁⁽²⁾, c₂⁽²⁾, …, c_n⁽²⁾ совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c1(1) = c1(2), c2(1) = c2(2), …, cn(1) = cn(2).

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или:

Ax = B.

Если к матрице А приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Методы решения

Прямые (или точные) методы, позволяют найти решение за определённое количество шагов. Итерационные методы, основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений.

Прямые методы

• Метод Гаусса

• Метод Гаусса — Жордана

• Метод Крамера

• Матричный метод

• Метод прогонки (для трёхдиагональных матриц)

• Разложение Холецкого или метод квадратных корней (для положительно-определённых симметричных и эрмитовых матриц)

Итерационные методы

• Метод Якоби (метод простой итерации)

• Метод Гаусса — Зейделя

• Метод релаксации

• Многосеточный метод