2. Вынужденные вертикальные колебания судна

Если на судно действует периодическая внешняя сила, связанная с морской волной, то последнее начинает совершать вынужденные колебания в вертикальном направлении. Рассмотрим основные закономерности этих колебаний.

Уравнение морской волны имеет вид

.

(21.55)

Обозначим через z=z(t) смещение центра тяжести судна относительно невозмущенной поверхности моря. В отсутствии морской волны на судно действовала сила Архимеда F_A = –gSz. При появлении волны происходит дополнительное вертикальное смещение на величину x и сила Архимеда

.

Кроме силы Архимеда, следует учесть силу сопротивления:

.

Использовав второй закон Ньютона, получим уравнение колебаний

или

.

Подставим в последнее выражение x и из (21.55). В результате получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний судна:

.

(21.56)

где _ — частота собственных колебаний судна (см. §  21.5).

Из сопоставления (21.55) и (21.47) находим

.

(21.57)

В данном случае величина F₀/m — комплексная. Поскольку физический смысл имеет модуль комплексной величины F₀/m, умножим (21.57) на величину комплексно-сопряженную, т.е. на и извлечем квадратный корень:

;

.

(21.58)

Подставив (21.58) в выражение для амплитуды вынужденных колебаний (21.50), получим:

.

(21.59)

Из (21.59) видно, что амплитуда вынужденных колебаний судна зависит от частоты  морской волны. Можно показать, что резонанс наступает, когда частота волн

.

Для того, чтобы избежать резонансных колебаний судна, на стадии его проектирования нужно предусмотреть, чтобы резонансная частота возможно более отличалась от частот  морских волн, характерных в штормовую погоду. Если же судно все-таки попало в область резонанса, то следует изменить скорость или направление движения судна, чтобы изменить частоту ударов набегающих волн.

3. Параметрический резонанс

Явление параметрического резонанса возникает в колебательных системах, у которых внешнее воздействие сводится к изменению со временем их параметров, например, частоты колебаний.

Для математического описания параметрического резонанса мы должны уравнение гармонических колебаний (21.6) заменить на уравнение

,

(21.70)

Рис. 21.22

в котором учтено, что в результате внешних воздействий частота собственных колебаний меняется во времени: t.

Выясним условия возникновения параметрического резонанса в важном случае, когда функция ^t мало отличается от некоторой постоянной величины и является простой периодической функцией (рис. 21.22):

,

где h<<1,  — частота внешних воздействий.

Таким образом, уравнение движения (21.70) приобретает вид

.

Рис. 21.23

В простейшем случае, когда частота внешнего воздействия в 2 раза больше частоты ее собственных колебаний, т.е.   _, приближенное решение этого уравнения можно представить в виде

.

При этом может реализоваться случай, когда k>1. Тогда амплитуда A(t)=A₀t_k с течением времени возрастает (рис. 21.23). Такое явление называется параметрическим резонансом.

Рассмотрим простейший пример механической колебательной системы — маятник, длина которого периодически изменяется. Пусть в момент времени, когда маятник проходит через положение равновесия, длина нити уменьшается на l (рис. 21.24, а), а в момент, когда маятник максимально отклонен от положения равновесия, его длина снова восстанавливается до постоянного значения (рис. 21.24, б).

Рис. 21.24

В момент укорачивания нити внешним силам необходимо произвести работу против сил тяжести и центробежной силы, а в момент удлинения нити выполняется противоположная по знаку работа только силами тяжести (работа центробежной силы равна нулю, так как v=0). Суммарная работа внешних сил за один полупериод положительна и идет на увеличение энергии колебаний маятника. В случае малого трения в системе амплитуда колебаний постепенно возрастает, достигая некоторого максимального значения.

Аналогично, изменяя с помощью внешних сил параметры колебательного контура (индуктивность или емкость), можно достичь параметрического резонанса в колебательном контуре.