6. Энергия гармонического колебания

Рассмотрим теперь на примере пружинного маятника процессы изменения энергии в гармоническом колебании.

Очевидно, что полная энергия пружинного маятника

.

где кинетическая W_k и потенциальная W_p энергии определяются выражениями:

Поскольку , то выражения для потенциальной энергии можно представить в виде

.

Зависимости от времени кинетической и потенциальной энергии гармонических колебаний показаны на рис. 21.6.

Рис. 21.6

Полная энергия гармонического колебания

(21.13)

не зависит от времени.

Следует обратить внимание на то, что энергия колебаний пропорциональна квадрату их частоты. Эта зависимость находит практическое применение при использовании высокочастотных колебательных процессов для увеличения мощности машин и механизмов без увеличения их размеров и массы (ультразвуковые методы обработки материалов, использование высокочастотных электродвигателей и др.).

Сложение скалярных колебаний

В общем случае колебательная система может одновременно совершать несколько колебательных движений. Для описания таких движений применимо одно из важнейших положений, характеризующих гармонические колебания — принцип суперпозиции: если x₁(t) и x₂(t) — смещения, возникающие под действием возмущающих сил F₁(t) и F₂(t), то результирующее смещение x(t)=x₁(t)+x₂(t) будет возникать под действие силы F(t)=F₁(t)+F₂(t). Если система совершает несколько колебаний, то эти колебания складываются независимо друг от друга.

Рассмотрим сначала сложение скалярных колебаний, т.е. колебаний скалярных физических характеристик (давления, температуры, плотности, заряда и т.д.). В случае механических колебаний скалярными являются колебания, совершающиеся вдоль одной из осей координат.

8. Сложение гармонических колебаний с равными частотами

Пусть складываются два скалярных гармонических колебания с одной и той же частотой ₀:

.

(21.18)

В соответствии с принципом суперпозиции результирующее колебание

.

(21.19)

Здесь A и  — амплитуда и начальная фаза результирующего колебания, которые подлежат определению. Для решения этой задачи подставим (21.18) в (21.19). После сокращения на получим

.

(21.20)

Приравняем в (21.20) действительные и мнимые части, используя формулу Эйлера (см. математическое введение):

;	(21.21)
.	(21.22)

Начальную фазу найдем, разделив (21.22) на (21.21):

.

(21.23)

Результирующую амплитуду A найдем, если возведем (21.21) и (21.22) в квадрат и сложим. После несложных преобразований получим

.

(21.24)

Рассмотрим теперь частные случаи.

а) Начальные фазы совпадают ₁=₂ (или отличаются на 2k).

Тогда из (21.24) следует

,

т.е. результирующая амплитуда равна сумме амплитуд складываемых колебаний — происходит взаимное усиление колебаний (рис. 21.8, а).

Рис. 21.8

б) Начальные фазы противоположны ₁-₂ =, 3,..., (2k+1).

Тогда из (21.24) следует

,

т.е. результирующая амплитуда равна разности амплитуд складываемых колебаний — происходит взаимное ослабление колебаний (рис. 21.8, б).