3. Колебания пружинного маятника

Рис. 21.3

Укрепим на конце пружины тело массой m, которое может свободно (без трения) перемещаться вдоль стержня (рис. 21.3). При смещении тела на величину x от положения равновесия возникает упругая сила (см. §  2.6) F=-kx, которая стремится вернуть тело в положение равновесия. Если отпустить тело, то под действием этой силы оно начнет двигаться.

Для нахождения уравнения движения воспользуемся вторым законом Ньютона:

.

(21.7)

Сравнивая (21.6) и (21.7), видим, что пружинный маятник совершает колебания с частотой

.

(21.8)

Период колебаний пружинного маятника

Рис. 21.4

.

Следует отметить, что все упруго деформированные тела приходят в колебательное движение, частота которого определяется общей формулой (21.8), однако значения коэффициента упругости (жесткости) каждом конкретном случае различны. Так, упруго колеблются детали судового набора, валы, трубопроводы и т.д.

4. Колебания физического маятника

Физическим маятником называется тело, совершающее колебания в поле тяжести Земли вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести (рис. 21.4).

Пусть O — ось вращения маятника, а C — центр его тяжести. При отклонении маятника от вертикали на угол  возникает составляющая веса тела P₁ = sin , которая стремится вернуть маятник в положение равновесия. Момент этой силы

,

где l — расстояние от центра тяжести до оси вращения, а знак минус показывает, что момент сил действует так же, как и упругая сила, стремясь вернуть маятник в положение равновесия.

Для составления задачи движения маятника воспользуемся основным законом динамики для вращательного движения (см. §  4.2):

Для малых углов отклонения sin  = , поэтому

(21.9)

В уравнении (21.9) — угловое ускорение; J — момент инерции маятника относительно оси вращения. Сопоставляя (21.9) и (21.6), приходим к выводу о том, что физический маятник совершает гармонические колебания с частотой:

.

Период колебаний физического маятника

.

(21.10)

Материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити, представляет собой математический маятник. В этом случае момент ее инерции J=ml² (где l — длина нити), поэтому период колебаний математического маятника

.

(21.11)

Физический маятник, кроме очевидно применения в часах, используется для определения ускорения свободного падения с целью гравиметрических исследований недр Земли, а также в системах управления летательными и подводными аппаратами по тангажу.

5. Вертикальные колебания центра тяжести судна

При погружении судна на дополнительную (по отношению к равновесному положению) глубину z (рис. 21.5) возникает дополнительная выталкивающая сила, равная согласно закону Архимеда

,

где S(z) — площадь, ограниченная ватерлинией.

Для составления уравнения движения воспользуемся вторым законом Ньютона:

.

Рис. 21.5

Предположим, что S(z)=const. Это предположение законно для судов с очень длинным и высоким корпусом, миделево сечение которых ограничено приблизительно отвесными бортами. При обводах ледокольного и полуледокольного типа оно, разумеется, не соответствует действительности. Если S(z) = S = const, то

.

(21.12)

Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой:

.

Период вертикальных колебаний центра тяжести судна

.