5. Средняя длина свободного пробега молекул

Назовем длиной свободного пробега молекулы расстояние, которое она проходит между двумя последовательными столкновениями. В результате хаотического движения это расстояние меняется случайным образом. Введем среднюю длину свободного пробега

.

Рис. 8.9.

Для вычисления примем упрощенную модель, считая, что все молекулы неподвижны за исключением одной, которая движется со средней скоростью . Будем также считать, что, несмотря на столкновения выделенной нами молекулы с другими, она движется прямолинейно (рис. 8.9). Обозначим через d – диаметр молекулы. Тогда, как видно из рис. 8.9, выделенная молекула столкнется со всеми теми молекулами, центры которых попадают внутрь цилиндра с радиусом R=d. За время t молекула пройдет путь равный , поэтому объем цилиндра . Если n – число молекул в единице объема, то число молекул, находящихся внутри цилиндра, и, следовательно, и число столкновений за время t

.

Среднее число столкновений в единицу времени

.

(8.29)

За время t молекула проходит путь, численно равный t, испытывая при этом столкновений. Поэтому средняя длина свободного пробега

.

Учтем теперь движение всех молекул. При таком учете вместо средней скорости движения молекулы необходимо ввести относительную скорость v_отн, равную . В результате более точное выражение для длины свободного пробега принимает вид

.

(8.30)

Лекція 12.

1. Общая характеристика явлений переноса

В предыдущих подразделах были рассмотрены равновесные состояния газа, т.е. такие состояния, в которых параметры газа постоянны во всем его объеме. Явления переноса в газах происходят в том случае, если в них каким-либо образом создана пространственная неоднородность его параметров. Эти явления возникают в результате хаотического теплового движения, которое стремится устранить возникшую пространственную неоднородность параметров газа.

К явлениям переноса относятся теплопроводность, диффузия и вязкость. Ограничимся рассмотрением одномерных явлений переноса, когда перенос той или иной величины происходит в одном направлении.

Проанализируем вначале макроскопический механизм этих явлений и описывающие их опытные закономерности.

1. Явление теплопроводности. Если в газе какие-либо внешние причины привели к возникновению неоднородности температуры, то молекулы газа в различных частях его объема имеют различные значения кинетической энергии хаотического движения. Молекулы, попавшие в результате хаотического движения из более нагретых областей газа в более холодные, при соударении с другими молекулами отдают им избыток кинетической энергии. И наоборот, молекулы из более холодных областей газа, попадая в более нагретые, при столкновении увеличивают свою энергию. Таким образом, хаотическое тепловое движение молекул приводит к направленному переносу тепловой энергии от горячих областей газа к холодным.

Явление теплопроводности описывается уравнением Фурье:

.

(8.31)

Здесь dQ – количество теплоты, переносимой через площадку S за время dt;  – градиент температуры, а  (каппа) – коэффициент теплопроводности. Знак "–" в (8.31) означает, что теплота переносится в сторону убыли температуры. Если в формуле (8.31) положить S=1, dt=1, , то =dQ, т.е. коэффициент теплопроводности численно равен количеству теплоты, переносимому через единичную площадку за единицу времени при градиенте температуры, равном единице. Единицы измерения коэффициента теплопроводности устанавливается на основании (8.31): []=Дж/(мсК).

Явление диффузии. Диффузией называется процесс установления внутри газа равновесного распределения концентрации примесных молекул.

Будем считать, что концентрация основных молекул n в данном объеме газа всюду постоянна, в то время как концентрация примесных молекул n₀ распределена по объему неравномерно.

Процесс диффузии вызван хаотическим тепловым движением молекул, которое приводит к направленному переносу примесных молекул в сторону уменьшения их концентрации.

Явление диффузии описывается уравнением Фика

.

(8.32)

где dM  – масса примеси, переносимая через площадку S за время dt; D – коэффициент диффузии, численно равный массе примеси, перенесенной через единичную площадку при dt=1 и ;  – градиент плотности примесного газа; _=m₀n₀ – плотность примесного газа (парциальная плотность); m₀ – масса примесной молекулы.

Единицы измерения коэффициента диффузии [D]=м²/с.

3. Явление вязкости. Явление вязкости (или внутреннего трения) состоит в возникновении силы сопротивления между слоями газа, движущимися с различными скоростями. Это явление возникает в результате переноса импульса, соответствующего направленному движению молекул, от одного слоя к другому (рис. 8.10). На этом рисунке u₁ и u₂ – скорости направленного движения молекул в различных слоях. В результате переходов типа 1 "медленная" молекула попадает в слой с более быстрыми молекулами и в результате столкновений отбирает у них часть импульса. Поэтому скорость направленного движения u₂ уменьшается. При обратном переходе (переход 2) нижний слой убыстряется. Таким образом, в результате обмена импульсами скорости направленного движения выравниваются.

Рис. 8.10.

Явление вязкости описывается уравнением Ньютона (см. формулу (5.9)).

Умножая уравнение (5.9) на dt и замечая, что по второму закону Ньютона импульс силы Fdt равен изменению импульса dК, получаем

.

(8.33)

Тем самым уравнение вязкости приведено к виду, аналогичному (8.31) и (8.32). Эти уравнения можно объединить, записав

.

(8.34)

где смысл G,  и g зависит от того, какое из явлений переноса (теплопроводность, диффузия или вязкость) рассматривается (табл. 8.1).

Таблица 8.1

Явление переноса	Макрохарактеристика dG	Коэффициент переноса 	Градиент	Микрохарактеристика a
Теплопроводность	dQ	
Диффузия	dM	D		m0
Вязкость	dK			mu