Статистическая теория газов

1. Средние характеристики движения молекул идеального газа

Рассмотрим в качестве простейшей модели физического тела идеальный газ. Идеальным называется такой газ, для которого выполняются следующие условия:

1. размеры молекул настолько малы, что их можно рассматривать как материальные точки;

2. потенциальная энергия взаимодействия между молекулами равна нулю при любом расстоянии между ними – лишь в момент столкновения между молекулами возникают упругие силы отталкивания.

В результате столкновений скорость молекулы изменяется как по величине, так и по направлению. Однако, если общее число молекул N велико, то можно утверждать, что в любой момент времени некоторая группа молекул N₁ обладает скоростью v₁, вторая группа молекул N₂ – скоростью v₂ и т.д. Если газ находится в равновесном состоянии (т.е. его давление P, температура T и объем V остаются постоянными), то средняя скорость молекулы

.

(8.1)

не зависит от времени. Здесь k – число групп молекул со скоростями v₁, v₂,..., v_k, а скобки означают среднее значение.

Остаются постоянными средние значения и других характеристик газа, например, средняя квадратичная скорость

.

(8.2)

Хаотическое движение молекул газа можно представить как движение 1/3 общего их числа в направлении x, 1/3 – вдоль оси y, 1/3 – вдоль оси z. При этом в положительном направлении оси движется 1/2 соответствующего числа молекул, т.е. 1/6 часть (рис. 8.1).

Рис. 8.1.

Рис. 8.2.

Подсчитаем теперь число молекул, которые пересекают площадку S, ориентированную перпендикулярно к оси x, за время dt (рис. 8.2).

Пусть n – число молекул в единице объема, а n_i – число молекул, движущихся со скоростью v_i. Число молекул dN_i, пересекающих площадку в положительном направлении оси x, очевидно, пропорционально площади S, времени dt, числу молекул n_i и их скорости v_i:

.

(8.3)

Общее число молекул dN, пересекающих площадку S за время dt, находят суммированием выражения (8.3) по всем молекулам:

.

Из (8.1) следует, что

,

поэтому

.

(8.4)

Заменим здесь воображаемую площадку S стенкой сосуда. При ударе молекулы о стенку направление ее скорости изменяется на противоположное, поэтому изменение импульса молекулы

.

(8.5)

Суммарный импульс, сообщаемый стенке за счет dN_i ударов группы молекул, движущихся со скоростью v_i, находят перемножением выражений (8.3) и (8.5):

.

Суммируя это выражение по всем группам молекул, получим общий импульс, сообщаемый стенке:

.

Значение суммы с помощью (8.2) можно выразить через среднюю квадратичную скорость, поэтому

.

Сила давления, возникающая за счет ударов молекул о стенку сосуда, находится по второму закону Ньютона , а давление

.

В результате получаем

.

(8.6)

Введем в рассмотрение среднюю кинетическую энергию хаотического движения молекул

.

(8.7)

С учетом (8.7) выражение (8.6) можно переписать в виде

.

(8.8)

Формула (8.8) есть основная формула статистической теории газов для давления. Видно, что давление газа пропорционально средней энергии хаотического движения молекул.

Число молекул в единице объема

,

(8.9)

где N – общее число молекул в объеме V.

Подставив (8.9) в (8.8), получим

.

(8.10)

Правая часть этого выражения остается постоянной величиной, если температура газа T=const, поэтому

.

Таким образом, получен закон Бойля-Мариотта, который, как известно, является частным случаем уравнения Менделеева-Клапейрона при T=const. Для одного киломоля газа это уравнение имеет вид

,

(8.11)

где V₀ – объем одного киломоля газа; R – универсальная газовая постоянная.

Если теперь записать уравнение (8.10) для одного киломоля:

,

где N_A – число Авогадро, и сравнить его с уравнением Менделеева-Клапейрона (8.11), то

.

Из последнего выражения следует

.

Отношение двух универсальных констант R и N_A есть также универсальная постоянная. Эта постоянная обозначается через k и называется постоянной Больцмана

.

Таким образом, средняя кинетическая энергия хаотического движения молекул пропорциональна температуре

.

(8.12)

Формула (8.12) есть основная формула статистической теории для энергии молекулы.

С помощью этой формулы можно дать молекулярно-кинетическое толкование температуры. Поскольку T ~  , то можно сказать, что температура есть величина, пропорциональная средней кинетической энергии теплового движения молекул. Заметим, что понятие температуры справедливо для равновесных систем, состоящих из очень большого числа частиц.

В заключение параграфа найдем связь между давлением газа и температурой. Подставляя (8.12) в (8.8), получаем

.

(8.13)