Математический анализ

1. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням и указать область сходимости полученного ряда .

2. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням и указать область сходимости полученного ряда .

3. Найти особые точки, выяснить их характер, исследовать поведение функции на бесконечности .

4. Найти особые точки функции, выяснить их характер, исследовать поведение функции на бесконечности .

5. Найти вычет функции в указанной точке .

6. Найти вычет функции в указанной точке .

7. Вычислить интеграл по замкнутому контуру, считая направление обхода положительным .

8. Вычислить интеграл по замкнутому контуру, считая направление обхода положительным .

9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру, считая направление обхода положительным .

10. Вычислить интеграл

11. Вычислить интеграл

12. Указать направление наибольшего убывания функции в точке с координатами

13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку с координатами , которая ортогональна в этой точке к линии уровня функции

14. Написать уравнение прямой, проходящей через точку с координатами , которая касается в этой точке линии уровня функции

15. Указать направление наибольшего роста функции в точке с координатами

16. Доказать, что кривые и пересекаются под прямым углом.

17. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении циклоиды около оси OХ, при

18. Вычислить

19. Вычислить

20. Последовательность задается формулами: Вычислить

21. Вычислить

22. Вычислить

23. Вычислить

24. Найти предел

25. Найти предел

26. Найти предел

27. Вычислить

28. Показать, что функция равномерно непрерывна на всей оси

29. Найти производную функции .

30. Найти производную функции

31. Доказать, что производная четной дифференцируемой функции есть функция нечетная.

32. Найти производную если (логарифмическая спираль), где и - полярные координаты.

33. Найти экстремумы функции .

34. Найти экстремумы функции .

35. Найти интеграл

36. Исследовать на сходимость .

Геометрия в пространстве

37. Доказать, что прямые и пересекаются, и найти их точку пересечения.

38. Найти угол между плоскостями и .

39. Прямая l проходит через точку параллельно линии пересечения плоскостей и . Найти расстояние между этими прямыми.

40. Найти угол между прямыми и

41. Найти расстояние между прямыми и

42. Найти расстояние между плоскостями и .

43. Найти угол между плоскостями и .

44. Написать уравнение прямой в каноническом виде.

45. Найти расстояние от точки до плоскости (не используя готовую формулу).

46. Даны вершины тетраэдра: А(2;3;1), В(4;1;-2), С(6;3;7), Д(-5;-4;8). Найти длину высоты тетраэдра, проведенной из вершины Д.

47. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки М(1;-1;-2) и Р(3;1;1) перпендикулярно к плоскости х-2у+3z-5=0.

48. Составить уравнение плоскости, проходящей через две точки А(1;-3;4) и В(2;1;-1) перпендикулярно к плоскости 5х-6у+7z-4=0.