Міністерство освіти і науки України
Державний університет ТеЛЕКОМУНІКАЦІЙ
КАФЕДРА ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ
ЗАТВЕРДЖУЮ
Завідуючий кафедрою
________________Барабаш О.В.
“ ____ “ _____________ 2014 року
Л Е К Ц І Я № 2.
МОДУЛЬ 1
Тема 1: „Лінійна алгебра”
Правило Крамера та матричний метод
розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
Дослідження довільних СЛАР та їх розв’язання методом Гаусса. Розв’язання однорідних СЛАР.
з навчальної дисципліни вища математика
напряму підготовки телекомунікації
освітньо-кваліфікаційного рівня бакалавр
Лекція розроблена
кандидатом фіз.-мат. наук, доцентом Онищенко В.В.
Обговорено на засіданні кафедри (ПМК)
Протокол № __________
“ ____ “ _____________ 2014 року
Київ - 2014
Навчальні цілі: Ознайомити студентів з предметом, структурою і характерними рисами вищої математики, з її значенням та специфікою організації навчального процесу, з різновидами матриць та визначників.
Виховні цілі: Обґрунтувати, що якісне вивчення вищої математики сприяє:
розвитку логічного та аналітичного мислення, пам’яті;
можливості самостійно вивчати сучасну науково-технічну літературу;
вмінню коротко і зрозуміло висловлювати свої думки;
акуратності і точності записів, уважності, дисциплінованості;
вмінню конспектувати, красиво оформлювати записи робочих зошитів для практичних занять та індивідуальних робіт;
набуттю навичок систематизації матеріалу, що вивчається.
Час: 1,5 години.
План проведення лекції та розрахунок часу
Введення.
Перевірити наявність студентів на лекції……. 1 хвилина
Навчальні питання:
І.Основна частина
1. Основні поняття і означення……………………………………….15 хвилин
2. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера. 15 хв.
3. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь матричним методом 15хв
4. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса…….30 хв.
5. Розв’язування однорідних систем лінійних алгебраїчних рівнянь………15 хв.
6. Дослідження систем лінійних алгебраїчних рівнянь на сумісність.
Теорема Кронекера-Капеллі……………………………………………….40 хв.
ІІІ. Заключення 5 хвилин
НАВЧАЛЬНО-МАТЕРІАЛЬНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ
Бажано мати:
1. крейду і вологу губку;
Навчальні матеріали
I. Текст лекції
1. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (слар). Основні поняття і означення
В шкільному курсі алгебри розглядувалися тільки системи лінійних рівнянь, в яких кількість рівнянь дорівнювала кількості невідомих і ця кількість, як правило, не перевищувала 3. До систем лінійних алгебраїчних рівнянь з більшою кількістю невідомих зводяться багато прикладних задач (техніки та економіки). Зокрема, за допомогою систем лінійних алгебраїчних рівнянь проводять розрахунок складних електричних ланцюгів.
Наша мета – навчитися оперувати з системами лінійних алгебраїчних рівнянь самого загального вигляду з довільною кількістю рівнянь і довільною кількістю невідомих.
Означення.
Системою лінійних алгебраїчних рівнянь
(СЛАР), що містить
рівнянь і
невідомих, називається система вигляду:
(1)
де
і
– довільні цілі додатні числа;
,
,
– дійсні числа, які називаються
коефіцієнтами системи;
,
– дійсні числа, які називаються вільними
членами рівнянь системи. Перший індекс
у коефіцієнта вказує номер рівняння,
другий – номер невідомого, при якому
знаходиться даний коефіцієнт.
Кількість
рівнянь
ніяк не зв’язана з кількістю невідомих
,
можливі випадки
,
,
.
Означення.
Розв’язком
системи лінійних алгебраїчних рівнянь
(1)
називається набір з
чисел
такий, що після заміни невідомих
числами
кожне з рівнянь системи
(1)
перетворюється на тотожність .
Якщо набір є розв’язком СЛАР (1),то кажуть, що він задовольняє системі (1).
Існують системи з єдиним розв’язком і з кількістю розв’язків більше одного і такі, що не мають розв’язків.
Означення. Система лінійних алгебраїчних рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б один розв’язок. Система називається несумісною, якщо вона не має жодного розв’язку.
Означення. Сумісна система, що має єдиний розв’язок, називається визначеною. Сумісна система, що має більш одного розв’язку, називається невизначеною.
Приклад.
1)
система
сумісна визначена
(має єдиний розв’язок)
2)
система сумісна невизначена
(має більше одного розв’язку)
3)
система несумісна
(не має розв’язків)
Вираз “розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь’’ означає: визначити чи сумісна вона чи не сумісна, у випадку сумісності знайти всі розв’язки.
В теорії систем лінійних алгебраїчних рівнянь розробляються методи, що дозволяють розв’язати будь-яку систему лінійних алгебраїчних рівнянь .
Означення. Дві системи лінійних алгебраїчних рівнянь з однаковими невідомими називаються еквівалентними, якщо вони обидві або сумісні або несумісні, або сумісні і множини їх розв’язків співпадають.
Зауваження. Еквівалентні системи лінійних алгебраїчних рівнянь необов’язково мають однакову кількість рівнянь. Зокрема, система рівнянь може бути рівносильна одному рівнянню.
Еквівалентні системи дістають, зокрема, за допомогою елементарних перетворень даної системи. Елементарні перетворення системи лінійних алгебраїчних рівнянь відповідають елементарним перетворенням матриці (лекція № 2, питання) за умови , що вони виконуються лише над рядками матриці.