3. Властивості визначників:

1. Визначник при транспонуванні не змінюється.

Пояснення дамо на прикладі визначників другого порядку. Нехай

.

Праві частини рівні, тому і ліві також рівні, тобто (А) =

Наслідок. У визначнику рядки та стовпці мають однакові влас­тивості.

2. Якщо у визначнику поміняти місцями будь-які два рядки (стовпці), то визначник змінить знак на протилежний.

Наприклад тому .

3. Якщо визначник має два однакових рядки (стовпця), то він дорівнює нулю.

Дійсно, якщо ми поміняємо місцями рівні рядки (стовпці), то визначник не зміниться, але згідно властивості 2 він повинен змінити знак на протилежний. Тому визначник повинен дорівнювати 0.

Наприклад: .

4. Якщо у визначнику усі елементи одного рядка (стовпця) по­множити на однакове дійсне число k, то визначник зросте також в k разів.

Наприклад

,

.

тобто (A₁) = k (A), але |A₁| одержано з визначника |А| шляхом множення усіх елементів першого рядка на k.

Наслідок 1. Спільний множник усіх елементів будь-якого рядка (стовпця) визначника можна винести за знак визначника.

Наслідок 2. Якщо усі елементи будь-якого рядка (стовпця) ви­значника дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.

5. Визначник, у якого відповідні елементи двох будь-яких рядків (стовпців) пропорційні, дорівнює нулю.

Доведення цієї властивості випливає з властивостей 3 та 4.

6. Якщо у визначнику елементи і-го рядка (k-го стовпця) є сумою двох доданків, тоді він дорівнює сумі двох відповідних визначників.

Наприклад,

.

7. Якщо до всіх елементів будь-якого рядка (стовпця) ви­значника додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця) цього визначника, помножені на одне й те ж саме число, то визначник не зміниться.

Приклад 4. Нехай заданий визначник .

Перетворимо визначник таким чином:

1. елементи першого рядка визначника помножимо на (–3) та додамо до відповідних елементів другого рядка визначника;

2. елементи першого рядка визначника помножимо на (–2) та додамо до відповідних елементів третього рядка визначника . Отримаємо визначник, який позначимо :

Перевіримо, що = . Для цього обчислимо ці визначники.

,

.

Отже, цей приклад ілюструє:

1. справедливість властивості 7;

2. цю властивість доцільно застосувати до перетворення визначників 4-го та вищих порядків, щоб одержати якомога більше нулів у якомусь стовпці (або рядку) і тим самим спростити обчислення заданого визначника.

Приклад 5. Обчислити визначник 4-го порядку

.

Розв'язання. Перетворимо цей визначник таким чином, щоб зробити якомога більше нулів у якомусь стовпчику, краще у першому, бо там вже є один нуль. Для цього елементи пер­шого рядка помножимо на 3 та додамо до відповідних еле­ментів третього рядка, потім елементи першого рядка помно­жимо на (–5) та додамо до відповідних елементів четвертого рядка. Одержимо визначник:

.

Тепер визначник доцільно розкласти за елементами першого стовпця:

.

Тут ми використали наслідок 1 властивості 4 і спростили ви­значник. Обчислимо його:

= 3(20 – 96 – 84 + 60 – 42 + 64) = 3(–78) = –234.