2. Составление характеристического уравнения и определение его корней

Для составления характеристического уравнения используют один из трёх методов:

• Метод входного сопротивления.

• Метод входной проводимости.

• Метод главного определителя.

Эти методы основаны на применении схемы свободной составляющей. Схему свободной составляющей (ССС) получают полагая в исходной схеме после коммутации источники равными нулю. Условия и эквивалентны следующим преобразованиям в схеме.

Пример 1: Составить схему свободной составляющей для схемы рис.1

Рис. 1

Схема свободной составляющей приведена на рис.2.

Рис. 2

Метод входного сопротивления

Область применения: для составления характеристического уравнения относительно тока конкретной ветви.

Основные положения: Составить схему свободной составляющей, разомкнуть в этой схеме ту ветвь, относительно тока которой необходимо составить характеристическое уравнение. Рассматривая зажимы разрыва в качестве зажимов двухполюсника и полагая сопротивление ёмкости равным , а индуктивности – , записать выражение для входного (эквивалентного) сопротивления относительно зажимов двухполюсника. Приравнять выражение для нулю. Уравнение и будет характеристическим.

Пример 2: Для схемы (рис.1) составить характеристическое уравнение относительно тока второй ветви.

Решение: Составим схему свободной составляющей и сделаем разрыв во второй ветви, относительно тока которой требуется составить характеристическое уравнение (рис.3).

Рис. 3

Запишем выражение для входного (эквивалентного) сопротивления для приведенного на рис.3 пассивного двухполюсника, полагая сопротивление емкости равным , а индуктивности –

.

Характеристическое уравнение имеет вид

.

Метод входной проводимости

Область применения: для составления характеристического уравнения относительно напряжения между двумя какими-либо точками схемы.

Основные положения: Составить схему свободной составляющей. Точки схемы, для напряжения между которыми требуется составить характеристическое уравнение, принять за входные зажимы двухполюсника. Для этого двухполюсника, полагая сопротивление ёмкости равным , а сопротивление индуктивности – , записать выражение для входной (эквивалентной) проводимости и приравнять его нулю. Полученное уравнение и будет являться характеристическим уравнением.

Пример 3: Для схемы (рис.1) составить характеристическое уравнение относительно напряжения на второй ветви.

Решение: Составим схему свободной составляющей. Узлы схемы, между которым включена вторая ветвь, примем за входные зажимы двухполюсника. Расчетная схема имеет вид (рис.4)

Рис. 4

Запишем выражение для входной (эквивалентной) проводимости для приведенного на рис.4 пассивного двухполюсника, полагая сопротивление ёмкости равным , а индуктивность – .

.

Характеристическое уравнение имеет вид:

.

Метод главного определителя

Область применения: для составления характеристического уравнения, справедливого в отношении любых токов и напряжений исследуемой схемы.

Основные положения: Составить схему свободной составляющей. Полагая сопротивление ёмкости равным , а индуктивности – , записать систему уравнений для этой схемы либо по законам Кирхгофа, либо по методу контурных токов, либо по методу узловых потенциалов. Главный определитель системы уравнений приравнять нулю. Полученное таким образом уравнение и будет характеристическим.

Пример 4: Составить характеристическое уравнение методом главного определителя для схемы (рис.1).

Решение: Составим схему свободной составляющей. Для получения характеристического уравнения воспользуемся методом контурных токов. Расчетная схема и контурные токи показаны на рис.5.

Рис. 5

Контурные уравнения имеют вид:

.

Приравняв главный определитель этой системы уравнений нулю, получим характеристическое уравнение.

.

После того, как получено характеристическое уравнение, находят корни этого уравнения и записывают выражение свободной составляющей искомого тока. Это выражение зависит от вида корней характеристического уравнения.

а) Все корни имеют кратность равную 1, т.е. среди n корней характеристического уравнения n-й степени нет равных.

,

где –неизвестные постоянные интегрирования,

– корни характеристического уравнения. Приведенное выражение для справедливо как для действительных корней р, так и для комплексных. Если среди n корней имеются комплексные корни (таких корней всегда четное количество и они попарно комплексно-сопряженные ), то пользоваться таким выражением неудобно.

б) Все корни имеют кратность 1, и среди n корней имеется, например, пара комплексно-сопряженных

или

.

В последнем выражении A и Ψ являются постоянными интегрирования.

в) Все корни действительны, и среди n корней имеются равные (кратные). Пусть корень p₁ имеет кратность, равную m, т.е. p₁=p₂=….=p_m,а остальные – кратность, равную 1, тогда:

.