Решение
Заданная схема имеет ветвей В=6 и узлов У=4. Количество неизвестных токов равно количеству ветвей, т.е 6. По ЗКТ можно составить КЗКТ =У-1 = 4 – 1 = 3 , а по ЗКН КЗКН = В-(У-1) = 6 - (4-1) = 3 независимых уравнений, т.е количество неизвестных токов равно количеству независимых уравнений. Следовательно, система имеет однозначное решение. Проведем расчет схемы по ЗК в соответствии с изложенными выше этапами:
1.Произвольно задаем на схеме положительные направления токов во всех ветвях.
2. Выбираем совокупность независимых контуров. Количество независимых контуров КНК = В-(У-1) = 3. Поскольку схема планарна и изображена без пересечений, то количество независимых контуров можно определить более просто, а именно, КНК = КЯ = 3. Каждую ячейку будем считать выбранным контуром и произвольно зададим направления обхода в каждом контуре.
3. Запишем уравнения по ЗК. По ЗКТ для любых трех узлов из 4, а именно: для 1,2 и 4:
(1) 
(2) 
(4) 
В этих уравнениях
токи, направленные к узлу, учтены со
знаком плюс, а от узла – со знаком минус.
Легко убедиться в том, что уравнение
для узла 3 является линейной комбинацией
записанных уравнений, т.е оно
линейно-зависимое. Действительно, если
сложить эти три уравнения и умножить
результат на -1, то получим уравнение
для узла 3
(3) 
.
Запишем уравнения по ЗКН для выбранных контуров:
I 
II 
III 
В итоге имеем 6 уравнений с шестью неизвестными токами, которые позволяют рассчитать численные значения токов в ветвях при заданных значениях сопротивлений и ЭДС.
Задача 2 Рассчитать токи во всех ветвях и напряжения на источниках тока, если извест-ны параметры схемы, т.е заданы значения , R, . Решение
Схема имеет В=9 ветвей, У=6 узлов и Вi=2 ветвей с источниками тока. Следовательно, необходимо рассчитать токи в семи ветвях и два напряжения на источниках тока.
1. Зададим произвольно положительные направления токов в ветвях и напряжений на источниках тока.
2. Выберем совокупность независимых контуров и зададим направления их обхода. Их количество определяют из выражения
КНК = В – (У-1) = 9-(6-1) = 4.
Схема содержит ветви с источниками тока, поэтому совокупность независимых контуров следует выбирать таким образом, чтобы каждая ветвь с источником
e3
R3
R5
R7
e5
e7
R9
e9
j8
R4
R2
j2
R6
R1
e1
i3
i5
i7
i1
i6
i4
i9
uj2
uj8
I
II
III
IV
R3
Рис. 3 тока принадлежала только одному контуру и в этом контуре она была единственной ветвью с источником тока. В этом случае для расчёта неизвестных величин необходимо будет решить систему из семи совместно решаемых уравнений относительно неизвестных токов и два самостоятельных уравнения (после расчёта токов) относительно напряжений на источниках тока.
Если выбрать контуры по ячейкам, как в предыдущей задаче, то каждая ветвь с источником тока будет принадлежать нескольким контурам, а это приведёт к необходимости решать систему из девяти совместно решаемых уравнений.
Для выбора совокупности независимых контуров построим граф схемы и выберем дерево. Ветви с источниками тока отнесём к ветвям связи.
Ветви связи: 2,4,8,9 (см. рис. 4). Затем, поочерёдно восстанавливая по одной ветви связи, получим совокупность независимых контуров, а именно главных контуров, т.к. каждый контур состоит из ветвей дерева и только одной ветви связи.
3
3
(2)
(1)
(1)
(2)
9
5
7
4
8
2
6
1
(4)
(6)
(3)
(5)
(3)
(5)
(6)
(4)
1
5
7
6
Граф схемы Дерево графа
(2)
(1)
(1)
(2)
3
3
9
5
7
6
1
(4)
(6)
(3)
(5)
(3)
(5)
(6)
(4)
1
5
7
6
I
II
(2)
(1)
(1)
(2)
3
3
5
7
(4)
(6)
(3)
(5)
6
III
IV
2
6
1
(3)
(5)
(6)
(4)
1
5
7
Совокупность независимых контуров
Рис. 4
Покажем выбранные контуры на расчётной схеме.
3. Запишем уравнения по ЗКТ (КЗКТ = У-1 = 5) и уравнения по ЗКН для контуров (КЗКН = В - (У-1) – Вi = 2), не содержащих ветвей с источником тока
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
I 
II 
Приведённая система уравнений позволяет рассчитать неизвестные токи.
Для расчёта напряжений на источниках тока запишем уравнения по ЗКН для контуров с источниками тока, т.е. для III и IV контуров.
III 
IV 
Напряжение Uj2 учитываем со знаком минус, т.к. направление обхода контура противоположно направлению напряжения Uj2.
Напряжение Uj8 учтено в уравнении со знаком плюс, поскольку направление напряжения Uj8 и обхода IV контура совпадают.
Библиографический список
1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. М.: Юрайт, 2012.
2. Зевеке Г.В. и др. Основы теории цепей. М.: Энергоатомиздат, 1989.
3. Под редакцией Бутырина П.А., Коровкина Н.В. Теоретические основы электротехники. Интернет-тестирование базовых знаний: Учебное пособие.
С-П.: ООО Изд-во «Лань», 2012.
4. Белов Н.В., Волков Ю.С. Электротехника и основы электроники: Учебное пособие. С-П.: ООО Из-во «Лань», 2012.
Учебное издание
АНАЛИХ РЕЗИСТИВНЫХ СХЕМ НА ОСНОВЕ ЗАКОНОВ
КИРГОФА И ОМА
Составитель
ОСИПОВ Евгений Георгиевич
Редактор С.П. Клышинская
Технический редактор О.Г. Завьялова
Подписано в печать 22.01.2013. Формат 60х84/16.
Бумага офсетная. Печать – ризография.
Усл. печ. л. 0,62 Уч.-изд. л. 0,56 Тираж 50 экз.
Заказ Бесплатно Изд. № 3
Московский институт электроники и математики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики».