3. Линейные дифференциальные уравнения

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:

y^ + P (x)  y = Q (x) (6), т.е. уравнение, содержащее искомую функцию и её производную только в первой степени, причём y на y^ не умножается, где P (x), Q (x) – непрерывные функции от x.

Рассмотрим метод интегрирования ДУ – метод И.Бернулли

Метод И.Бернулли

Решение уравнения (6) может быть сведено к последовательному интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными. Для этого положим y = u   (7), где u = u (x),  =  (x) – непрерывные и дифференцируемые функции.

Чтобы, (7) было решением, необходимо, чтобы это равенство удовлетворяло уравнению (6).

Найдём y = u + u и подставим в (6)

u  + u + P (x)  u   = Q (x) или

u + u ( +P (x)  ) = Q (x) (8)

Имеем одно дифференциальное уравнение (8), содержащее две неизвестных функции. Так как число неизвестных больше числа уравнений, то одно неизвестное можно выбрать произвольно. Выберем  (x) так, чтобы скобка в (8) обратилась в нуль, т.е положим

 + P (x)  = 0 (9)

Тогда уравнение (8) примет вид:

u = Q (x) (10)

Из уравнения (9) найдём V (x). Это уравнение с разделяющимися переменными:

= - P (x)  ; = -  ln = -

V = e ^- .

Найденное  подставим в уравнение (10):

u

u =  Q (x) dx + c

e ^- = Q (x)

du = e  Q (x) dx 

Найденные u и  подставим в (7) и получим общее решение линейного уравнения (6).

y = .

Замечание. 1. Находя , мы не ввели произвольную постоянную, так как использовали произвол в выборе , т.е. положили с = 0, тем самым взяли частное решение уравнения (9).

Замечание. 2. Уравнение R (x) y^' + P (x)y = Q (x), где P (x), R (x) – непрерывные функции, также является линейным и приводится к виду (6) после деления на R (x).

Замечание. 3. Дифференциальное уравнение может быть линейным относительно x и x^' как функций от y, т.е. иметь вид:

x^ + P (y) x = Q (y)

Решение по методу Бернулли:

x = u  , где u = u (y),  =  (y)

Пример. Найти общее решение уравнения:

cos x  y + sin x  y = 2 ^x cos x ² x

y = u; y = u + u

u + u + tg x  u   = 2^x cos x

u + u ( + tg x  ) = 2^x cos x

1.  + tg x   = 0  = -tg x dx  ln = ln   = cos x

2. u = 2^xcos x; u cos x = 2^x cos x; = , u =

3. y = u   =

4.y = cos x - общее решение.

Уравнение Бернулли

Рассмотрим уравнение вида:

y + P (x) y = Q (x) yⁿ,

где P (x) и Q (x) – непрерывные функции от x (или постоянные), а n  0 и n  1 (в противном случае получилось бы линейное уравнение). Это уравнение называется уравнением Бернулли.

Замечание. Аналогично тому, как это делалось для линейных уравнений, можно показать, что решение уравнения можно искать в виде произведения двух функций:

y = u (x)   (x),

где  (x) – какая – либо функция, отличная от нуля, удовлетворяющая уравнению

 + Pv = 0

Итак, линейные дифференциальные уравнения решаются с помощью метода Бернулли.