Занятие 2. Дифференциальные уравнения первого порядка

1. Уравнение с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение вида

М (х ) dх + N ( y ) dу = 0 (1)

называется уравнением с разделёнными переменными.

Решение. Из (1) следует: M (x) dx = - N (y) dy

В левой части этого уравнения стоит дифференциал функции от x, а в правой части дифференциал функции от y. Из равенства этих дифференциалов заключаем, что сами функции могут отличаться друг от друга лишь произвольным постоянным слагаемым.

Поэтому - общее решение данного уравнения.

Пример. Найти общее решение уравнения:

x  dx + y²dy = 0

Решение.

3x² + 2y³ = c  y = - общее решение данного уравнения.

Определение. Уравнение вида:

M_I (x) N₁ (y) dx + M₂(x) N₂ (y) dy = 0 (2)

называется уравнением с разделяющимися переменными.

Решение. Уравнение (2) может быть приведено к уравнению (1) с разделёнными переменными путём деления обеих частей его на выражение N₁ (y) M₂ (x):

dx + dy = 0

dx + dy = 0, т.е. к уравнению (1), решать которое мы уже умеем.

Замечание. Уравнение с разделяющимися переменными может быть записано в виде, разрешённом относительно y'. Тогда оно имеет вид:

y' = p (x)  q (y)

Действительно, разделив уравнение (2) на M₂ (x) N₂ (y) dx, получим:

или y' = - 

Обозначив, p (x) = - , q (y) = ,

получим y' = p (x) q (y)

Пример. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному условию: xy' + y = 0, y

Решение. x или xdy + ydx = 0

+ = - ; ln = - ln + ln ;

ln = ln  x = 

y =

- общее решение данного уравнения.

Чтобы найти произвольную постоянную C, подставим начальное условие:

Найденное C подставим в общее решение и получим:

y =

-частное решение данного уравнения, удовлетворяющее данному начальному условию.

Итак, для решения уравнения с разделяющимися переменными его необходимо преобразовать в уравнение с разделенными переменными.

2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Функция f (x, y) называется однородной n–ого измерения относительно переменных x и y, если при любом  справедливо тождество: f (x; y) = ^к f(x; y)

Пример. 1) Функция f (x, y) = - однородная функция второго измерения.

Действительно, f (x; y) = = = ² f (x, y). Итак, f (x; y) = ² f (x, y); n = 2

2)Функция f (x, y) = - однородная функция нулевого измерения.

Действительно, f (x; y) = = = =

= f(x,y), т.е. f (x; y) = f (x, y); n = 0

Определение. Уравнение первого порядка y' = f (x, y) (3) называется однородным, если функция f (x, y) есть однородная функция нулевого измерения относительно x и y.

Решение. По условию f (x; y) = f (x, y).

Положив в этом тождестве  = , получим f (x, y) = f (1; ), т.е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргументов. Уравнение (3) примет вид:

y' = f (1; ), (4).

Сделаем подстановку: u = , т.е. y = ux.

Тогда y' = xu' + u, и уравнение (4) примет вид:

u' x + u = f (1; u).

Это уравнение с разделяющими переменными.

x = f (1; u) – u или =

Интегрируя, найдём: = .

Обозначим F (u) = .

Предыдущее равенство тогда перепишется так:

F (u) = ln + C

Подставим вместо u отношение , получим интеграл уравнения (3):

F ( ) = ln + C

Пример. Найти общее решение уравнения:

y^ = ; f (x, y) = - однородная функция нулевого измерения относительно x и y. Сделаем подстановку = u, т.е. y = ux. Тогда

y = x + u; x + u =

x + u = ; x = - u; x = ;

x = ; x (1 – u²) du = u³ dx: u³ x

du = = .

Интегрируя, находим:

- - ln = ln + ln ; - = ln

Подставляя u = , получим общий интеграл исходного уравнения.

- = ln ; x² = -2y² ln ; y² = - ; y =

- общее решение.

Замечание. Уравнение M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 (5) будет однородным в том случае, когда M (x, y), N (x, y) являются однородными функциями одного и того же измерения. Это вытекает из того, что отношение двух однородных функций одного и того же измерения является однородной функцией нулевого измерения.

Пусть M (x, y), N (x, y) – однородные функции одного и того же измерения n, т.е. M (x; y) = ⁿ M (x, y); N (x, y) = ⁿ N (x, y).

Тогда, разделив обе части уравнения (5) на N (x, y) dx, получим:

;

т.е. y^ = f (x, y), где f (x, y) = - - однородная функция нулевого измерения, так как

f (x; y) = - = - = - = f (x, y).

Пример. Найти общее решение уравнения (x² + y²) dx – 2xy dy = 0

Данное уравнение однородное. Функции M (x, y) = x² + y²; N (x, y) = - 2xy – однородные функции второго измерения. Найдём общее решение этого уравнения.

Данное уравнение разделим на 2xy dx и получим:

,

Сделаем подстановку u= , т.е. y = ux, тогда

+ u.

Подставим всё это в уравнение:

; - u;

Делим переменные:

=  - ln = ln + ln ;

ln + ln + ln = 0; ln = 0

xc (1 – u²) = 1; xc (1 - ) = 1;

c (x² – y²) = x; cx² - cy² = x; cx² – x = cy².

y =  - общее решение данного уравнения.

Итак, для решения однородных дифференциальных уравнений необходимо произвести подстановку и преобразовать это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.