Питання для самоконтролю

1. Що таке економічна область? Сформулювати закон спадної доходності.

2. Навести визначення моделі одноресурсної фірми.

5. Сформулювати задачу максимізації прибутку.

3. Сформулювати задачу визначення оптимального обсягу виробництва.

4. Визначити модель зростання випуску продукції в умовах конкуренції.

5. Сформулювати модель і задачу багаторесурсної фірми.

6. У чому полягає задача оптимального розподілу ресурсів?

7. Що таке задача цінової дискримінації?

Завдання до самостійної роботи

Цех випускає два види товарів обсягами і одиниць. Ціни на ці товари становлять відповідно , у.о., а функція витрат має вигляд . Скласти виробничу програму за якої цех отримає максимальний прибуток.

Рекомендована література

[1], [2], [3]

Тема 5. Моделювання динаміки розвитку основних виробничих фондів та фінансів підприємства

План вивчення теми

1. Поняття виробничої функції.

2. Види виробничих функцій.

3. Побудова виробничої функції Кобба-Дугласа.

4. Обчислення економічних показників на основі функції Кобба-Дугласа, економічні висновки.

Навчальні цілі: навчитись будувати і досліджувати виробничі функцій при розв’язанні економічних задач.

Завдання та методичні рекомендації до вивчення теми

Розглянемо питання використання нелінійних багатофакторних моделей у сфері виробництва на прикладі виробничих функцій.

Виробничою функцією (ВФ) називається залежність між обсягами використаних у виробництві ресурсів (незалежні змінні Х₁, Х₂,…, Х_m) і обсягом випущеної продукції Y:

Основними виробничими ресурсами є праця L і капітал К. Способи виробництва (виробничі технології) визначають, який об’єм продукції випускається при заданій кількості праці і капіталу. Математично існуючі технології виражаються через виробничу функцію.

Наведемо приклад виробничої функції Кобба-Дугласа, яка найбільш широко використовується при проведенні економічного аналізу.

Аналітично функція Кобба-Дугласа записується як

,

де Y – обсяг випущеної продукції;

К – капітал (основні фонди) в узагальненому вигляді;

L – праця в узагальненому (неявному) вигляді.

Функція Кобба-Дугласа є степеневою і у класичній формі записується рівнянням:

, 0< а₁<1, 0< а₂<1,

де Y – обсяг випущеної продукції;

К – основний капітал, виробничі фонди;

L – витрати праці;

а₀ – коефіцієнт пропорційності;

а₁, а₂ – параметри, які характеризують степінь однорідності ВФ.

Для проведення економічного аналізу обчислюють основні характеристики функції Кобба-Дугласа.

1. Середня фондовіддача дорівнює:

.

Це рівняння показує, що середня фондовіддача завжди збільшується при збільшенні ресурсів праці (при незмінних фондах) і зменшується при збільшенні самих фондів (при незмінних трудових ресурсах).

2. Середня продуктивність праці дорівнює:

.

3. Отже, зі збільшенням витрат праці L (при незмінних витратах капітала К) середня продуктивність праці знижується. Навпаки, збільшення витрат капіталу К (при незмінних працезатратах L) веде до зростання середньої продуктивності праці.

4. Гранична фондовіддача:

.

Гранична фондовіддача відрізняється від середньої тільки множником а₁. Оскільки а₁ менше одиниці, гранична фондовіддача у ВФ завжди нижче середньої.

5. Гранична продуктивність праці:

.

Оскільки 0<а₂<1, можна зробити висновок, що у ВФ гранична продуктивність праці завжди нижче середньої продуктивності праці.

Гранична продуктивність праці показує, скільки додаткових одиниць продукції приносить додатково витрачена одиниця праці.

6. Еластичність випуску продукції за фондами:

.

7. Еластичність випуску продукції за витратам праці:

.

Отже, параметри та – коефіцієнти еластичності випуску за основними фондами та працею відповідно. Якщо > , то має місце працеощадне (інтенсивне) виробництво; якщо < , виробництво є екстенсивним.

Коефіцієнти еластичності показують, на скільки відсотків збільшиться випуск продукції при збільшенні витрат праці (фондів) на 1%.

8. Взаємодіючі у рамках ВФ ресурси L і К можуть замінювати один одного. Гранична норма заміни витрат праці L виробничими фондами К задається формулою:

,

і, відповідно, гранична норма заміни фондів працею:

.

Знак мінус у правих частинах виразів означає, що при фіксованому об’ємі виробництва збільшенню одного із ресурсів відповідає зменшення другого.

Розглянемо поведінку функції Кобба-Дугласа при зміні масштабу виробництва. Нехай витрати кожного ресурсу збільшаться в t раз. Тоді об’єм випуску дорівнюватиме:

.

Якщо Е=а₁+ а₂=1, то рівень ефективності ресурсів не залежить від масштабів виробництва. Якщо Е<1, то з розширенням масштабів виробництва середні витрати ресурсів у розрахунку на одиницю продукції зменшуються, а якщо Е>1, – збільшуються.

Таким чином, функція Кобба-Дугласа дає можливість аналізувати виробничу діяльність підприємства і на основі аналізу давати рекомендації з удосконалення управління підприємством.

_{Приклад. Випуск фірми, що виробляє один продукт, задається виробничою функцією Кобба-Дугласа:}

_.

Визначити максимальний випуск, якщо на оренду фондів та оплату праці виділено 150 ум. од., вартість оренди одиниці фондів ум.од., ставка заробітної плати ум. од. Визначити граничну норму заміни одного працівника фондами в оптимальній точці.

Розв’язання. Задачу можна записати наступним чином:

за обмежень:

.

Оскільки , то в оптимальному розв’язку .

Складемо систему рівнянь:

Враховуючи вигляд функції , отримаємо:

_{Розділимо перше рівняння на друге, враховуючи ціни ресурсів, та додамо обмеження:}

_,

_{Розв’язком системи рівнянь є: .}

_{Визначеному розв’язку відповідає максимальний випуск:}

_{Гранична норма заміни праці фондами визначається як:}

_,

_{тобто один робітник може бути замінений двома одиницями фондів.}