Завдання та методичні рекомендації до вивчення теми

Вивчення попиту і споживання відіграє істотну роль у соціально-економічних дослідженнях. Найбільш розповсюдженими моделями попиту і споживання є рівняння регресії, які відображають залежність споживання (попиту) від часу або від факторів, що на них впливають. Для аналізу і прогнозування будуються однофакторні і багатофакторні моделі попиту і споживання. У однофакторних рівняннях частіше всього факторами виступають доходи споживачів або витратна частина доходів. До багатофакторних моделей може включатися цілий ряд факторів: рівень доходів і заощаджень, розмір і склад сімей, міграція населення, рівень цін, досягнута величина споживчих запасів, зсуви в об’ємі і структурі пропозиції тощо.

В умовах ринку ціни на більшість товарів і послуг не регулюються державою, а вільно встановлюються і змінюються на самому ринку. Основними факторами впливу на ціну є попит і пропозиція.

Процес формування рівноважної ціни можна прослідкувати за допомогою так званої павутиноподібної моделі. Її будова ґрунтується на припущенні, що попит (d) і пропозиція (s) – функції від ціни.

Уведемо позначення:

– попит у момент часу ;

– пропозиція у момент часу ;

– ціна товару у момент часу .

Природно вважати, що попит у момент часу залежить від ціни у той же момент часу :

,

а пропозиція – від ціни у попередній момент часу:

,

тобто виробництво на зміну ціни реагує із запізненням. Оскільки із зростанням ціни попит падає, а пропозиція зростає, то а<0, с>0.

Рівність у кожний момент часу попиту і пропозиції:

=

завершує павутиноподібну модель.

З останнього співвідношення одержуємо модель для ціни у вигляді різницевого рівняння першого порядку:

.

Значення ціни, при якому виконується рівність попиту і пропозиції і яке не призводить до подальших їхніх змін, позначимо через р^*. Це саме та ціна, для якої у стані рівноваги попиту і пропозиції справедливо співвідношення:

,

звідки одержуємо її значення:

, де .

Дослідження процесу, що описується моделлю, на збіжність дає підстави стверджувати:

1. Якщо <1, то коли t→∞, p_t→p*;

2. Якщо r=1, то коли t→∞, p_t коливаються навколо рівноважного значення p*;

3. Якщо r>1, то коли t→∞, ціна все далі відхилятиметься від точки рівноваги p*.

Графічно процес руху до рівноважної ціни p* показано на рис. 2:

Рис. 2

Розглянемо балансові моделі виробництва і розподілу продукції.

Для аналізу і планування виробництва і розподілу продукції на різних рівнях – від народного господарства до окремого підприємства використовується міжгалузевий балансовий метод.

Припустимо, що економічна система складається з n взаємопов’язаних галузей (підприємств, економічних об’єктів).

Уведемо позначення:

– витрати продукції i-ї галузі на виробництво продукції j-ї галузі;

Х_і – валовий продукт i-ї галузі;

Y_i – кінцевий продукт i-ї галузі;

Z_j – умовно чиста продукція j-ї галузі.

У наступній таблиці відображена схема міжгалузевого балансу (МГБ):

Споживання Виробництво	1	2	3	…	n	Сума	Кінцевий продукт	Валовий продукт
1	х11	х12	х13	…	x1n		Y1	X1
2	x21	x22	x23	…	x2n		Y2	X2
3	x31	х32	х33	…	x3n		Y3	X3
…	…	…	…	…	…	…	…	…
n	хn1	хn2	хn3	…	xnn		Yn	Xn
Сума
Умовно чиста продукція	Z1	Z 2	Z 3	…	Z n
Валовий продукт	X1	X2	X3	…	Xn

Основні балансові співвідношення:

1. (1)

– баланс між виробництвом і споживанням.

2. (2)

– вартісна структура продукції j-ї галузі.

3. (3)

– рівність сумарного кінцевого продукту і сумарної умовно чистої продукції.

Основою економіко-математичної моделі МГБ є матриця коефіцієнтів прямих витрат . Коефіцієнт прямих витрат показує, скільки одиниць продукції i-ї галузі відповідає одиниці продукції j-ї галузі, якщо враховувати тільки прямі витрати

, . (4)

Звідси

. (5)

Підставив (5) в (1), одержимо:

(6)

або у матричному вигляді:

, (7)

де

, , .

Систему рівнянь (7) називають економіко-математичною моделлю міжгалузевого балансу (моделлю Леонтьєва, моделлю «витрати-випуск»). Ця система є відображенням реальних економічних процесів, в яких змістовними є лише невід’ємні значення валових випусків. Отже вектор валової продукції є невід’ємним: Х≥0. Постає питання, за яких умов економічна система може забезпечити додатній кінцевий випуск за всіма галузями. Відповідь на це питання пов’язана з поняттям продуктивності матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат. Достатньою умовою продуктивності матриці А є обмеження на величину її норми, тобто на величину найбільшої з сум елементів матриці А у кожному стовпці. Якщо норма матриці А строго менше одиниці, то ця матриця продуктивна.

За допомогою цієї моделі можна виконувати три види планових обчислень:

1) за відомими валовими рівнями виробництва усіх галузей (задан вектор Х) визначити обсяги випуску кінцевої продукції (вектор Y). У цьому випадку систему (7) зручно записати у вигляді:

, де Е – одинична матриця n-го порядку;

2) за відомими рівнями кінцевої продукції галузей (вектор Y) визначити обсяги валової продукції (вектор Х). У цьому випадку система (7) переписується у вигляді:

;

Позначимо матрицю . Тоді

.

Елементи матриці В називаються коефіцієнтами повних матеріальних витрат. Вони показують скільки всього необхідно виробити продукції i-ї галузі, щоб одержати одиницю кінцевої продукції j-ї галузі.

3) задаючи для одних галузей обсяги валової продукції, а для решти – обсяги кінцевої продукції, можна знайти величини кінцевої продукції перших і об’єми валової продукції других. У цьому випадку обчислення невідомих здійснюється за комбінованою схемою:

,

де , - вектори заданих обсягів кінцевого і валового продуктів;

, - вектори шуканих обсягів валового і кінцевого продуктів;

- блоки розбиття матриці коефіцієнтів прямих витрат.

Приклад. Для економічної системи, яка умовно складається з трьох галузей: промисловість, сільське господарство, транспорт, задана матриця коефіцієнтів прямих витрат:

і вектор кінцевої продукції .

Обчислити:

1. Планові об’єми валової продукції;

2. Величини міжгалузевих потоків;

3. Умовно-чисту продукцію;

4. Матрицю повних витрат.

Скласти міжгалузевий баланс.

Розв’язання. З’ясуємо, чи є матриця А продуктивною. Для цього обчислимо суми елементів цієї матриці по стовпцям. Вони дорівнюють 0,92; 0,48; 0,39. Оскільки максимальна сума 0,92<1, то матриця є продуктивною і розв’язок задачі існує.

Модель міжгалузевого балансу має вигляд:

.

Вектор попиту Y відомий. Задача міжгалузевого балансу полягає у визначенні вектора випуску X.

1. Розв’язок рівняння можна подати у вигляді:

.

Знайдемо . Спочатку знаходимо матрицю

.

Далі обчислюємо визначник цієї матриці:

.

Знаходимо транспоновану матрицю :

.

Знаходимо алгебраїчні доповнення для елементів матриці :

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Знаходимо шукану матрицю :

= .

Знаючи матрицю , знаходимо вектор випуску:

.

2. Для знаходження величин міжгалузевих потоків необхідно помножити стовпці матриці А на знайдені значення валового випуску.

.

3. Знайдемо умовно-чисту продукцію .

Маємо

4. Матриця повних витрат це матриця :

.

5. Модель міжгалузевого балансу виробництва й розподілу продукції має вигляд:

Галузі - виробники	Галузі-споживачі				Кінцева продукція	Валова продукція
	1	2	3
1	59,68	15,86	4,98	80,51	30	110,51
2	33,15	10,78	2,49	46,42	17	63,42
3	8,84	3,81	2,24	14,89	10	24,89
	101,67	30,44	9,71	141,81	57	198,8
Умовно чиста продукція	8,84	32,98	15,18	57
Валова продукція	110,51	63,42	24,89	198,8