Питання для самоконтролю

1. Платіжна матриця. Матриця ризику.

2. Критерії вибору оптимальної стратегії з урахуванням ризику.

3. Класифікація систем масового обслуговування.

4. Методи розв’язування задач систем масового обслуговування.

5. Пуассонівський потік вимог та експоненціальний закон розподілу часу обслуговування.

6. Загальна постановка задачі СМО з очікуванням.

Завдання до самостійної роботи

Підприємство може випускати чотири види продукції , , , , одержуючи при цьому прибуток, що залежить від станів економічного середовища, яке може знаходитися в одному із чотирьох станів , , , . Задана платіжна матриця:

	В1	В2	В3	В4
А1	7	5	1	10
А2	5	2	8	4
А3	1	3	4	12
А4	8	5	1	10

де – прибуток від -ої продукції при -му стані попиту.

Випуск якої продукції є оптимальним за критеріями Лапласа, Вальда, Севіджа, Гурвіца?

Рекомендована література

[2], [3], [5], [14], [19]

Тема 7. Вплив випадкових факторів і ринкових обмежень на динаміку виробництва План вивчення теми

1. Дискретні ланцюги Маркова.

2. Неперервні ланцюги Маркова.

3. Граничні ймовірності станів.

Навчальні цілі: навчитись використовувати марковські процеси прийняття управлінських рішень у підприємницькій діяльності для розв’язування економічних задач.

Завдання та методичні рекомендації до вивчення теми

Математичною моделлю випадкового процесу є певна функція від дійсного аргумента , значення якої при кожному фіксованому є випадковою величиною. Саме поняття випадкового процесу (випадкової функції) є узагальнюючим поняттям випадкової величини.

Отже, випадковим процесом називають такий процес, коли при будь-якому можливому значенні випадкова функція утворює випадкову величину.

При одержуємо випадкову величину, яку називають перерізом випадкового процесу.

Випадковий процес X(t) називають марковським, якщо за будь-якого можливого значення часу t = t₁ значення випадкової величини x(t₁) не залежить від того, яких значень ця величина набувала для t < t₁ , тобто процес у момент часу t = t₁ не залежить від його поведінки в більш ранні моменти часу t < t₁.

Нехай X(t) – однорідний марковський процес із обмеженим , або зліченим, числом можливих станів i =0,1,2,3,…,n,…

Якщо аргумент t набуває лише значення 0,1,2,3,…n, то в цьому разі матимемо послідовність переходів

Такий процес послідовностей переходів називають ланцюгом Маркова.

Процес переходу системи S утворює ланцюг Маркова, якщо ймовірність перейти в стан А_j в момент часу залежить лише від того, в якому стані система перебувала в момент часу , і не залежить від стану системи в більш ранішні моменти часу.

Імовірність переходу зі стану в стан в момент часу позначають через

Повна ймовірна картина всіх можливих переходів систем із одного стану в інший за умови, що число всіх станів дорівнює , безпосередньо описується матрицею ймовірностей переходу:

Якщо не залежить від часу, то ланцюг Маркова називають однорідним і тоді Для кожного рядка матриць виконується рівність

Матрицю називають n –кроковою матрицею переходу з одного стану в інший.

Приклад. Фермер придбав новий трактор, який може перебувати в одному з трьох несумісних станів: – трактор працює добре, тобто не потребує жодних втручань, пов'язаних із витратами ; – трактор може бути використаний у роботі, але потребує дрібного ремонту, який, у свою чергу, вимагає певних витрат; – трактор перебуває в нероботоздатному стані, що відбивається на прибутках фермера.

Матриця ймовірностей переходу трактора з одного стану в інший за один крок (за 1місяць) має такий вигляд:

Відома матриця вартостей:

Оцінити ефективність роботи трактора за три робочих місяці. Елементи матриці вартостей вимірюються у гривнях. При цьому

Розв'язання. Вектор економічної ефективності для n=3 є:

(1)

Визначимо координати вектора :

Таким чином, маємо:

Рівняння (1) перепишемо у вигляді:

,

або

Таким чином, маємо:

Отже коли трактор за три місяці перейде до стану (справний), то прибуток фермера дорівнюватиме 507 гр. 81 коп.; для стану цей прибуток становитиме 268 грн. 60 коп. і для стану – лише 47 грн. 90 коп.

Питання для самоконтролю

1. Що таке дискретні ланцюги Маркова?

2. Що таке неперервні ланцюги Маркова?

3. Як визначаються граничні ймовірності станів?

Завдання до самостійної роботи

Розв’язати наведений приклад за умов:

,

Зробити висновки.

Рекомендована література

[2], [3], [19]

Змістовий модуль 4. Реалізація товарів і послуг