6 Нтегральне числення функції

однієї змінної

Завданням інтегрального числення є знаходження функції за відомим значенням її похідної, тобто здійснення операції, оберненої до диференціювання.

Основні теоретичні питання цього розділу:

• первісна функція та невизначений інтеграл, основні властивості;

• метод заміни змінної інтегрування;

• метод інтегрування частинами;

• поняття визначеного інтеграла, формула Ньютона – Лейбніца.

• заміна змінної та інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

Невизначеним інтегралом від деякої функції називається множина всіх первісних функцій, тобто

.

Функція є первісною до функції , тобто такою, що

,

причому весь клас первісних обмежується функціями , - стала величина.

Основні інтеграли утворюють таблицю інтегралів (таблиця 3).

Таблиця 3 - Таблиця інтегралів

№ п/п	Основні інтеграли	Деякі окремі випадки
1	2	3
1
2
3
4
5
Продовження таблиці 3
1	2	3
6
7
8
9
10
11

Відзначимо, що невизначеному інтегралу притаманна властивість лінійності,

.

Техніка інтегрування базується на знанні таблиці інтегралів та двох методів інтегрування.

Метод заміни змінної інтегрування виражається формулою

,

тобто ознакою застосування цього методу є наявність у підінтегральному виразі в якості множника (з точністю до сталої) похідної від функції (аргументу складеної функції), яку можна обирати новою змінною інтегрування.

Формула методу інтегрування частинами є такою:

,

де , - диференційовані функції.

Інтеграл в лівій частині рівності штучно структурується "частинами" як добуток однієї функції та диференціалу другої функції, що дає можливість інтеграл виразити через інтеграл , який повинен бути не складнішим від першого.

На базі зазначених методів розроблені прийоми інтегрування для конкретних типів функцій – тригонометричних, раціональних, ірраціональних.

Визначений інтеграл вводиться як границя інтегральних сум

за умовою довільного розбиття інтервалу на частин ( - довжина -го інтервалу) та вибору точок всередині цих інтервалів.

Хоча невизначений і визначений інтеграли - різні поняття за суттю (невизначених інтеграл – це множина інтегральних кривих, а визначений – це число), методи обчислення визначеного інтеграла збігаються з методами знаходження невизначеного інтеграла, оскільки для знаходження визначеного інтеграла треба спочатку знайти невизначений (первісну), а потім скористатися формулою Ньютона-Лейбніца

,

де є первісною для непереривної функції .

Опис основних методів та прийомів інтегрування наведено в методичних вказівках [11]. Варіанти завдання 6 теж базуються на завданнях, що пропонуються в [11], але в більш спрощеному вигляді. У зв'язку з цим розглянемо деякі приклади, що є окремими випадками інтегрування раціональних функцій.

Приклад 24

Знайти інтеграл .

Цей інтеграл належить до типу інтегралів з квадратним тричленом у знаменнику, і пов'язаний з цим прийом інтегрування базується на виділенні у знаменнику повного квадрата. Отже,

=

.

Приклад 25

Знайти інтеграл .

Підінтегральна функція є неправильним раціональним дробом, з якого можна виділити цілу частину за допомогою ділення чисельника на знаменник, щоб інтегрувати правильний дріб. Але в даному випадку, коли чисельник і знаменник відрізняються тільки сталими, зробимо виділення цілої частини таким чином:

.