Дії над комплексними числами

1. Додавання і віднімання комплексних чисел проводиться за правилом:

.

Наприклад, .

2. Множення комплексних чисел проводиться за звичними правилами множення многочленів, враховуючи, що :

.

Наприклад,

,

.

Добуток двох комплексно спряжених чисел дорівнює квадрату їхнього модуля – є невід’ємним дійсним числом:

.

3. Ділення комплексного числа на дійсне число зводиться до операції множення на обернене число . Наприклад

.

Ділення комплексного числа на комплексне число також може бути введено через операцію множення. Помножимо чисельник і знаменник на число спряжене до знаменника

.

Наприклад,

.

Тригонометрична і показникова форми комплексного числа

Крім алгебраїчної форми комплексного числа використовується так звана тригонометрична форма його запису. Позначимо через r модуль комплексного числа

.

Нехай . Тоді (рисунок 29), значить

. (*)

Запис комплексного числа у виді (*) називається тригонометричною формою цього числа.

Зручно користуватися також показниковою формою запису комплексного числа , що випливає з формул Ейлера:

Наприклад, . При цьому, оскільки , то

.

Алгебраїчні дії з комплексною показниковою функцією аналогічні діям із звичайною показниковою функцією . Нехай , , тоді їхній добуток дорівнює

Виходить, модуль добутку двох комплексних чисел дорівнює добутку

їхніх модулів, а аргумент добутку дорівнює сумі аргументів

.

Наслідок. , і справедлива формула Муавра: , яка практично очевидна для показникової форми .

Частка двох комплексних чисел дорівнює

.

Виходить, модуль частки двох комплексних чисел дорівнює частці їх модулів, а аргумент частки дорівнює різниці їх аргументів

.

Приклад 28. Записати в алгебраїчній формі

.

Розв’язання. Розглянемо ‑й чверті (рисунок  30).

.

Аналогічно .

Виходить,

Рисунок 30

.

Добування кореня n-го степеня з комплексного числа

Нехай комплексне число . Коренем n-го степеня з числа z називається таке комплексне число , що . Звідси випливає, що

.

Таким чином, ми одержали нескінченну кількість коренів . Проте можна побачити, що відрізняється від на доданок, рівний . Звідси випливає, з огляду на періодичність з періодом 2π тригонометричних функцій , а, отже, і показникової функції , що . Виходить, існує точно n різних значень кореня n-го степеня з комплексного числа, які знаходяться за формулою

Всі вони лежать на колі радіуса ( – арифметичний корінь із дійсного додатного числа) у вершинах правильного n‑кутника.

Приклад 29. Знайти всі значення . Зобразити їх на комплексній площині.

Розв’язання.

,

.

Для значень k=0, 1, 2 знаходимо (рисунок  31)

,

Рисунок 31

,

.

Завдання Завдання 1. Задано функцію . Побудувати графіки функцій:

1)   ; 2)   ; 3)   ; 4)   ; 5)  

№	f(x)	a	b	A	B
1	sin x	1/3	/2	3	1
2	cos x	2	/4	2	2
3	sin x	0.5	-/2	1/3	-5
4	cos x	1/3		0.5	-2
5	sin x	2	-/4	-3	-0.5
6	cos x	3	-	-2	2
7	sin x	1/3	-/2	-1	-1
8	cos x	2	-/4	-0.5	3
9	sin x	0.5	/2	3	-3
10	cos x	1/3	-	2	2.5
11	sin x	2	/2	1/3	-2.5
12	cos x	3	/4	-0.5	0.5
13	sin x	-0.5	/2	1.5	1.5
14	cos x	-1	-/2	-1.5	2.5
15	sin x	-2	/4	2.5	-2.5
16	cos x	-3	-/4	-1	2
17	sin x	-1.5		2	-1
18	cos x	-0.5	-	-0.5	0.5
19	sin x	-1	/2	3	-1
20	cos x	-2	/4	-3	1
21	sin x	-1.5	-/4	-2	3
22	cos x	-3	-/2	-2.5	-1
23	sin x	0.5		-3	0.5
24	cos x	-0.5	/2	2	-1.5
25	sin x	2	-	-2	2
26	cos x	1.5	/4	1.5	-1.5
27	sin x	1/3		-3	-1
28	cos x	-1	/2	2.5	0.5
29	sin x	2		-2	1.5
30	cos x	0.5	/4	-1	-1.5