Обмежені функції

Функція f(x) називається обмеженою на множині , якщо існує таке число , що для усіх виконується нерівність .

Функція f(x) називається напівобмеженою на множині , як-от,

а) обмеженою знизу, якщо існує таке число , що для усіх виконується нерівність ;

б) обмеженою зверху, якщо існує таке число , що для усіх виконується нерівність .

Функція f(x) називається обмеженою при (у точці ), якщо вона обмежена в деякому околі цієї точки.

П

Рис.12

риклад 7. Розглянемо функцію (рисунок 12). Область визначення . Очевидно, що ця функція обмежена знизу в області визначення, тому що . На кожному замкнутому відрізку, що не містить нуля, функція обмежена також і зверху, а значить просто обмежена. Наприклад, для усіх виконується . Функція обмежена також і при . Проте ця функція необмежена в нулі (при ), тому що для будь-якого як завгодно великого числа М завжди знайдеться в околі нуля таке число , що .

Нескінченно великі і нескінченно малі величини

Функція f(x) називається нескінченно великою (НВ) при , якщо для будь-якого знайдеться такий окіл цієї точки, що для всіх значень x із цього околу виконується нерівність .

Означення означає, що модуль функції стає більше будь-якого наперед заданого числа, тобто необмежено зростає, коли . Отже, в силу означення границі нескінченно велика при функція не має границі в цій точці. При цьому пишуть

або .

Якщо нескінченно велика в точці функція зберігає знак в околі цієї точки, і цей знак важливий, то пишуть

, якщо ;

, якщо .

Приклад 8. – нескінченно велика, коли , тому що для будь-якого виконується , як тільки . Цілком зрозуміло також, що , а .

П

Рисунок 13

риклад 9. – нескінченно велика, коли (рисунок 13), тому що для будь-якого виконується

,

як тільки . Причому , .

Функція f(x) називається нескінченно малою (НМ) у точці , якщо ( ).

Означення означає, що модуль функції стає менше будь-якого наперед заданого числа, коли .

Приклад 10. а) , отже, – н .м. при . У той же час , отже, – НВ при .

Зауваження. Поняття НВ і НМ – локальні, тому що характеризують поведінку функції поблизу конкретної граничної точки. Не слід також плутати НВ із дуже великим по модулю постійним числом, а НМ із дуже малим по модулю постійним числом.

Теорема 10. Про зв'язок між нескінченно великими і нескінченно малими.

• Якщо – нескінченно мала при ( для ), то обернена до неї величина – нескінченно велика при .

• Якщо – нескінченно велика при , то величина, обернена до неї, – нескінченно мала при .

Приклад 11. а) – НМ при – НВ, тобто при .

б) – НВ при , – НМ, тобто при .

Для нескінченно великих правила обчислення границь (теореми 2-6) у загальному випадку не мають місця. Нехай у точці функції – НВ, а функція – НМ ( , , коли ). Тоді при обчисленні границь можна керуватися такими правилами:

1. ;

2. якщо , то

;

3. якщо існує , то

;

4. ;

5. якщо в околі точки існує , то для всіх

;

6. зокрема, якщо в околі точки існує , то ;

7. якщо існує , то

;

8. якщо існує , то

, зокрема, ;

9. якщо існує , то

, зокрема, ;

10. якщо в околі точки (функція обмежена), то .

Приклад 12. а) ;

б)   ;

в)   – невизначеність типу . Для обчислення границі винесемо множник (старший степінь) за дужки. З огляду на те, що , знаходимо

;

г) аналогічно,

.

На закінчення цього розділу зауважимо, що наявність тієї чи іншої границі (а також її відсутність), як правило, легко побачити на графіку функції. Наведемо графіки деяких елементарних функцій та опишемо їх поведінку у характерних точках (включаючи нескінченно віддалену) за допомогою границь.

1. Степенева функція . У випадку маємо (рисунок 14)

, .

У випадку маємо (рисунок  15) , .

2. П

   Рисунок 14 Рисунок 15

   оказникова функція (рисунок  16). У випадку , .

У випадку ,

3. Л

           Рисунок 16    Рисунок 17

   огаріфмічна функція (рисунок  17)

,

4. Т

   Рисунок 18

   ригонометричні функції та (рисунок  18).

– не існує, – не існує.

5. Т

   Рисунок 19

   ригонометричні функції та (рисунок 19).

 – не існує, , .

 – не існує, , .

6. О

   Рисунок 20

   бернені тригонометричні функції та (рисунок 20).

, .

, .