5. Проекція вектора на вісь

Віссю називається напрямлена пряма. Напрям прямої позначають стрілкою. Заданий на осі напрям вважають додатним, а протилежний йому – від'ємним.

Проекцією точки на вісь називається основа перпендикуляра (точка ), опущеного з точки на дану вісь.

Кутом між вектором і віссю (або між векторами) називається менший з кутів, на який потрібно повернути вектор, щоб він збігався за напрямом з віссю (або другим вектором): .

П роекцією вектора на вісь називається число, яке дорівнює різниці координат проекцій на вісь кінця й початку вектора. Проекцію вектора на вісь позначають

Властивості проекцій:

1. Проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини вектора на косинус кута між вектором та віссю:

2. Проекція суми кількох векторів на дану вісь дорівнює сумі їх проекцій на цю вісь:

3. При множенні вектора на число його проекція також помножиться на це число:

Основні властивості проекції векторів на вісь полягають у тому, що лінійні операції над векторами призводять до відповідних лінійних операцій над проекціями цих векторів.

Складовою вектора на вісь називається вектор , де – проекції точок на вісь відповідно.

Завдання для самоконтролю:

1. Що називається: вектором, ортом, нульовим вектором?

2. Які вектори називаються рівними, колінеарними, компланарними?

3. Як визначаються сума та різниця двох векторів, сума кількох векторів, добуток вектора на число?

4. Сформулюйте властивості лінійних операцій над векторами.

5. Чи можуть бути лінійно незалежними три вектори на площині? А в просторі R³?

6. Що називається базисом на прямій, на площині, у просторі?

7. З'ясуйте геометричний зміст теореми про розклад вектора за базисом.

8. Що називається проекцією вектора на вісь? Сформулюйте властивості проекцій.

9. Доведіть, що при будь-якому розміщенні точок

10. У трикутнику проведена медіана . Доведіть, що

11. Відомо, що . Покажіть, що

12. Відомо, що . Знайдіть .

Вказівка. Кожну вісь можна задати вектором, який лежить на цій осі і має з нею однаковий напрям. Тому символ слід тлумачити як проекцію вектора на вісь, яка визначається вектором .

ЗМ 9 Системи координат, поняття про n-вимірний простір

1. Афінна система координат

Афінна система координат у просторі визначається заданням базису і деякої точки , яка називається початком координат. Осі, які проходять через початок координат в напрямі базисних векторів називаються осями координат (вісь абсцис проходить у напрямі вектора , вісь ординат – у напрямі вектора і вісь аплікат – у напрямі вектора . Площини, які проходять через осі координат, називаються координатними площинами.

Афінну систему координат також називають Декартовою на честь французького математика Рене Декарта.

Радіус-вектором точки відносно точки називається вектор , початок якого збігається з початком координат , а кінець – з точкою .

Числа називаються координатами точки і записують це так: .

Аналогічно визначаються координати точки на площині і на прямій. Точка на площині має дві координати, точка на прямій – одну.

Отже, якщо у просторі обрано декартову систему координат, то будь-якій точці простору відповідає одна упорядкована трійка чисел (координати точки). Таким чином встановлюється взаємно однозначна відповідність між точками простору і упорядкованими трійками чисел.