ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

ЗМ 8	Вектори і дії над ними
ЗМ 9	Системи координат, поняття про n-вимірний простір
ЗМ 10	Скалярний добуток векторів. Кут між векторами
ЗМ 11	Векторний добуток векторів
ЗМ 12	Мішаний добуток векторів

Векторна алгебра – розділ математики, в якому визначаються дії над векторами. Векторна алгебра виникла і вдосконалювалась у зв’язку з потребами механіки та фізики. До XIX ст. величини, що зустрічались у механіці і фізиці, задавали числом або кількома дійсними числами. Дальший розвиток фізики показав, що деякі з фізичних величин набагато доцільніше характеризувати не тільки числом, а й напрямом, тобто вектором.

Вперше вектори застосував норвезький математик К.Вессель у 1799 р. для інтерпретації комплексних чисел. Проте справжній розвиток векторної алгебри розпочався лише в середині XIX ст. і привів до створення нової математичної дисципліни – векторного аналізу.

Апарат векторного числення ефективно використовується в багатьох загальнонаукових та інженерних дисциплінах (електро- і гідродинаміці, теоретичній і технічній механіці, теорії механізмів і машин).

ЗМ 8 Вектори і дії над ними

1. Скалярні і векторні величини

Багато фізичних величин повністю визначаються своїм числовим значенням (об’єм, маса, густина, температура тощо); вони називаються скалярними. Але є й такі величини, які крім числового значення мають ще й напрям (швидкість, сила, напруженість магнітного поля тощо). Такі величини називаються векторними.

В ектор – це напрямлений відрізок з початком у точці і кінцем у точці . Вектори позначають як двома великими латинськими літерами із стрілкою, так і однією малою, наприклад, , .

Термін «вектор» (від лат. vector – переносник) ввів у 1848 р. ірландський математик Гамільтон.

Довжиною (модулем) вектора називається довжина відрізка і позначається або .

Якщо початок вектора збігається з його кінцем, то вектор називають нульовим і позначають . Напрям нульового вектора невизначений, а його довжина дорівнює нулю.

Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називають одиничним вектором, або орт-вектором.

Вектори називаються колінеарними ( ), якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Колінеарні вектори можуть бути напрямлені однаково або протилежно. Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору.

Вектори називаються рівними ( ), якщо вони колінеарні, однаково напрямлені і мають однакові довжини.

Три вектори називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині або в паралельних площинах.

2. Лінійні дії з векторами

1. Додавання векторів

Правило трикутника. Сумою векторів називається вектор , початок якого збігається з початком вектора , а кінець – з кінцем вектора за умови, що початок вектора збігається з кінцем вектора .

Правило паралелограма. Сумою векторів називається вектор , який є діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах .

Правило многокутника. Додавання кількох векторів здійснюється за правилом замикання ланцюжка векторів, коли в кінці першого вектора будують другий, в кінці другого – третій і т.д. Напрямлений відрізок, що йде з початку першого вектора в кінець останнього і буде сумою даних векторів.

Властивості операції додавання векторів:

1. (комутативність)

2. (асоціативність)

3. 

4. 

2. Віднімання векторів

Вектори називаються протилежними, якщо вони колінеарні, довжини їх однакові, а напрями протилежні.

Різницею двох векторів називається сума вектора й вектора , протилежного вектору .

3. Множення вектора на число (скаляр)

Добутком вектора на число називається вектор з довжиною і напрямом, який збігається з напрямом вектора при , і протилежним напряму при .

Властивості операції множення вектора на число:

1. (дистрибутивність)

2. (асоціативність)

Властивості розглянутих операцій мають велике значення у векторній алгебрі, бо вони дають право робити перетворення в лінійних операціях з векторами так само, як у звичайній алгебрі: векторні доданки можна переставляти місцями і сполучати їх у групи, вводити дужки, виносити за дужки як скалярні, так і векторні спільні множники.