2.5. Таблиці життя (смертності). Основні математичні характеристики таблиць смертності

Розподіл імовірності майбутнього життя людини в віці може бути побудований на основі відповідної таблиці життя.

Таблиця життя – це за своєю суттю таблиця однорічних імовірностей смерті , яка повністю визначає розподіл .

Таблиці життя будуються на основі статистичних даних. Побудова таблиці життя використовує техніку оцінювання, вирівнювання і екстраполяції, що застосовується для врахування змін властивостей смертності від часу.

Таблиці смертності будуються для конкретних груп населення, які класифікуються за такими факторами як стать, раса, покоління і тип страхування. Вихідний вік дає великий вплив при побудові таких таблиць. Наприклад, нехай означає вік, коли людина купує контракт страхування життя. Оскільки страхування здійснюється тільки для людей з добрим здоров’ям (часто тільки після медичної перевірки), природно сподіватися, що людина, яка тільки що купила контракт на страхування, буде мати краще здорові при інших (зокрема вік) рівних факторах. Це явище враховується за допомогою таблиць життя з відбором. В таблицях життя з відбором ймовірність смерті вирівнюється у відповідності з віком входу у відібрану групу. Таким чином, - це однорічна ймовірність смерті для з віком на вході . Відбір веде до нерівностей

. (5.1)

Ефект відбору як правило пропадає через декілька, скажімо, через , років після входу. Ми вважаємо, що

. (5.2)

Період називається періодом відбору, і таблиця, яка використовується після закінчення періоду відбору, називається таблицею життя без відбору.

Розглянемо людину, яка купує контракт страхування життя у віці . При періоді відбору 3 роки такі ймовірності необхідні для визначення розподілу :

. (5.3)

Якщо елементи таблиці життя залежать тільки від досягнутого віку , вона називається об’єднаною таблицею життя. Вона зручна тим, що має тільки один вхідний параметр на відміну від таблиці з відбором, яка має два вхідних параметри. Однорічна імовірність смерті для даного досягнутого віку в об’єднаній таблиці життя зазвичай дорівнює зваженому середньому відповідних ймовірностей в таблицях з відбором і без відбору.

Хоча неважко користуватись таблицею життя з відбором, (див. наприклад (5.3)), ми будемо в подальшому для спрощення використовувати позначення об’єднаної таблиці життя.

2.6. Ймовірності смерті для частин року

Розподіл для і суміжні величини можуть бути підраховані, виходячи з таблиці життя. Наприклад,

, , (6.1)

з (1.8). Для отримання розподілу з допомогою інтерполяції повинні бути зроблені припущення про ймовірності смерті , або силі смертності для проміжних значень віку ( ціле і ).

Ми вивчимо такі три ситуації.

Ситуація А: лінійність

Якщо припустити, що - лінійна функція від , інтерполяція між 0 і 1 дає

. (6.2)

Ми бачили в розділі 2.4, що це відповідає випадку, коли та незалежні, і рівномірно розподілене між 0 і 1. Тоді

(6.3)

і (2.5) дає

. (6.4)

Ситуація Б: є сталою

Часто використовується припущення про те, що сила смертності є сталою на кожному одиничному інтервалі. Позначимо стале значення ( ) через . Використовуючи (2.5), отримаємо

. (6.5)

Звідси маємо, що

. (6.6)

З (4.6) отримуємо

. (6.7)

Таким чином, умовний розподіл для при заданому є вкороченим експоненціальним розподілом і залежить від . Випадкові змінні і в цьому випадку не є незалежними.

Ситуація В: лінійність

Ця гіпотеза, відома в Північній Америці як припущення Бальдуччі (Balducci), визначає

. (6.8)

Звідси маємо

. (6.9)

З використанням (2.5) отримуємо

, (6.10)

звідки

. (6.11)

Звідси видно, що при гіпотезі Бальдуччі випадкові змінні і не є незалежними.

При кожному з трьох припущень сила смертності є розривною в цілих точках. Більш незвичайним є той факт, що при припущенні Бальдуччі сила смертності спадає між послідовними цілими, див. (6.10).

При обидві величини (6.7) і (6.11) прямують до . Таким чином, якщо ймовірності смерті є малими, «приблизно» рівномірно розподілена і не залежить від (навіть в припущеннях Б чи В).