6.7. Розподіл загальної втрати за роками контракту
Ми продовжуємо
вивчати загальний контракт страхування.
При
визначимо
як втрати застрахованого, які виникли
протягом року
;
таким чином, початок року використовується
в якості точки відліку на часовій шкалі.
Необхідно розрізняти три випадки: 1)
застрахований помер до кінця року
;
2) застрахований помер протягом року
;
3) застрахований живий наприкінці року
.
Випадкова змінна
,
таким чином, визначається так
(7.1)
Замінивши на і використовуючи (3.6), отримуємо
(7.2)
Отже, якщо застрахований живий в момент , це втрати, утворені для термінового однорічного контракту страхування, що покриває чисту ризикову величину.
Загальні втрати застрахованого визначаються рівнянням (5.1) теми 5. Очевидний результат
(7.3)
можна перевірити безпосередньо, використовуючи (7.1).
Використовуючи (7.2) і (3.7), знаходимо
,
(7.4)
звідки маємо
.
(7.5)
Хоча (7.3) виконується завжди, для справедливості (7.5) необхідно, щоб щорічні виплати були зміщенням резерву чистої премії даного року.
Класична теорема Хаттендорфа стверджує, що
при
,
(7.6)
.
(7.7)
Друга формула
стверджує, що варіація загальної втрати
застрахованого може бути розподілена
за роками контракту, і є прямим наслідком
першої формули і (7.3). Перша формула
неочевидна, оскільки випадкові змінні
не є незалежними.
При доведенні
(7.6) можна припускати, що
,
не обмежуючи загальність. Враховуючи
на останньому кроці (7.4), маємо
;
(7.8)
Варіацію можна визначати за формулою
.
(7.9)
Підставивши це в (7.7), отримаємо
.
(7.10)
Припускаючи тепер, що застрахований живий в момент ( ціле), розглянемо втрати, які визначені в розділі 1, як різниця між очікуваними поточними значеннями майбутніх виплат і майбутніх преміальних внесків. Аналогічно до (7.10) маємо
.
(7.11)
Для
доведення розглянемо гіпотетичний
контракт страхування, підписаний у віці
і оплачуваний "преміями"
,
при
.
(7.12)
Варіація може бути визначена з рівняння (7.10). Результати для чисельного прикладу розділу наведені у таблиці.
Обчислення варіації за роками
-
Контракт на дожиття
Терміновий контракт
0
12905
15114
1
9918
13940
2
7393
12864
3
5292
11876
4
3584
10970
5
2240
10140
6
1231
9379
7
535
8682
8
131
8043
9
0
7457
Сума
43229
108465
Ми бачимо, що варіація набагато менша для контракту на дожиття (43229), чим для термінового контракту (108465).
Рівняння
(7.10) корисне для оцінки впливу метода
оплати премій на варіацію
,
коли план виплат фіксований. Розглянемо,
наприклад, контракт чистого дожиття,
де
.
Варіація
зростає разом з резервом чистої премії.
Тому оплата методом чистої одиночної
премії веде до більшої варіації, чим
при оплаті по методу чистої щорічної
премії.